ЕФЕКТИВНЕ ЧИСЕЛЬНЕ ІНТЕГРУВАННЯ ДВОВИМІРНИХ ШВИДКООСЦИЛЬОВАНИХ ФУНКЦІЙ ЗАГАЛЬНОГО ВИДУ
DOI:
https://doi.org/10.20998/2222-0631.2025.02(9).12Ключові слова:
математичне моделювання процесів, цифрова обробка зображень, чисельне інтегрування, швидкоосцильовані функції багатьох змінних, кубатурна формула, інтерполяція функційАнотація
Однією з ключових задач у сучасній прикладній математиці, без якої неможливе моделювання та аналіз складних процесів, зокрема в математичній фізиці, цифровій обробці зображень, є чисельне інтегрування функцій багатьох змінних. Часто аналітичне обчислення багатовимірних інтегралів є неможливим через складність самих функцій або області інтегрування, що зумовлює необхідність застосування ефективних чисельних методів. Основна проблема чисельного інтегрування функцій багатьох змінних полягає в зростанні обчислювальних витрат зі збільшенням розмірності області інтегрування – так зване «прокляття розмірності». Це спонукає до пошуку ефективних методів, які дозволяють зберігати баланс між обчислювальною складністю та точністю результатів. Особливий інтерес становлять методи чисельного інтегрування, розроблені з використанням інформаційних операторів, які відновлюють проміжні значення величин за наявним набором відомих значень функції багатьох змінних в точках, на функцій двох та трьох змінних. Застосування економних схем в чисельному інтегруванні функцій декількох змінних дозволяє з меншою кількістю даних обчислювати багатовимірні інтеграли із заданою наперед точністю порівняно з класичними методами. Метою даної статті є демонстрація використання економних схем інтерполяції для наближеного обчислення подвійних інтегралів, а також двовимірних інтегралів від швидкоосцильованих функцій загального виду.
Посилання
Iserles A. Іn the numerical quadrature of highly-oscillating integrals I: Fourier transforms : Tech. Reports Numerical Analysis. DAMPT, University of Cambridge, NA2003/05. 26 p.
Huybrechs D., Olver S. Highly oscillatory quadrature. Highly Oscillatory Problems: Computation, Theory and Applications. Cambridge, Cambridge University Press, 2008.
Iserles A. On the numerical quadrature of highly-oscillating integrals II: Irregular oscillators : Tech. Reports Numerical Analysis. DAMPT, University of Cambridge, NA2003/09. – 22 p.
Milovanovic G. V., Stanic P. Numerical Integration of Highly Oscillating Functions. Analytic Number Theory, Approximation Theory and Special Functions. 2014, pp. 613–649. DOI: 10.1007/978-1-4939-0259-3_23.
Sergienko I. V., Zadiraka V. K., Lytvyn O. M. Interlineation of Functions. Elements of the General Theory of Optimal Algorithms. Springer Optimization and Its Applications. 2021, vol. 188, pp. 75–176. DOI: 10.1007/978-3-030-90908-6_3.
Sergienko I. V., Zadiraka V. K., Lytvyn O. M. Interflatation of Functions. Elements of the General Theory of Optimal Algorithms. Springer Optimization and Its Applications. 2021, vol. 188, pp. 177–251. DOI: 10.1007/978-3-030-90908-6_4.
Lytvyn O. M., Nechuyviter O. P. Kubaturni formulu dlya obchyslennya koefitsientiv Fur’ye funktsiy dvokh zminnykh z vykorystannyam splayninterlinatsiyi [Cubature formulas for calculating Fourier coefficients of functions of two variables using spline-interlineation]. Dop. NAN Ukrayiny. Matematyka. Pryrodoznavstvo. Tekhnichni nauky [Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine]. 1998, no. 1, pp. 23–28.
Lytvyn O. M., Nechuiviter O. P. Optymal'na za poryadkom tochnosti kubaturna formula obchyslennya podviynykh integraliv vid shvydkoostsylyuuchykh funktsiy ta splayn-interlinatsiya [Optimal cubature formula for calculating double integrals from rapidly oscillating functions and spline interlineation]. Tavriys'kyy visnyk informatyky ta matematyky [Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics]. 2008, no. 2, pp. 13–17.
Lytvyn O. M., Nechuyviter O. P. Pro odnu kubaturnu formulu dlya obchyslennya 2D koefitsientiv Fur’ye z vykorystannyam interlinatsiyi funktsiy [On a cubature formula for calculating 2D Fourier coefficients with using interlineation of functions]. Dop. NAN Ukrayiny. Matematyka. Pryrodoznavstvo. Tehnichni nauky [Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine]. 2010, no. 3, pp. 24–29.
Lytvyn O. N., Nechuyviter O. P. Methods in the multivariate digital signal processing with using spline-interlineation. Proceeding of the IASTED International Conferences on Automation, Control, and Information Technology (ASIT 2010) (June 15 – 18 2010). Novosibirsk. 2010, pp. 90–96.
Lytvyn O. M., Nechuiviter O. P. Kubaturna formula dlya obchislennya 2D koefitsientiv Fur’e z vykorystannyam interlinatsiyi funktsiy [The cubature formula for calculating 2D Fourier coefficients using the interlineation of functions]. Visnyk KhNU Im. V. N. Karazina. Ser. : Matematychne modelyuvannya. Informatsiyni tekhnologiyi. Avtomatyzovani systemy upravlinnya : zb. nauk. pr. [Bulletin of the Karazin Charkiv National University. Series : Mathematical Modeling. Information Technology. Automated Control Systems : Collection of scientific papers]. Kharkiv., 2010, no. 926, pp. 153–160.
Lytvyn O. M., Nechuiviter O. P. Optimal'nyy za poryadkom tochnosti metod obchyslennya 2D koefitsientiv Fur’e za dopomogoyu interlinatsiyi [The optimal method of calculating 2D Fourier coefficients using interlineation]. Komp’yuterne modelyuvannya v naukotmnykh tekhnologiyakh : pr. nauk.-tehn. konf. z mizhnarodnoyu uchastyu, 18–21 travnya 2010r. [Computer modeling in science-intensive technologies: Practical Scientific and Technical Conference with international participation, May 18–21]. Kharkiv., 2010, no. 2, pp. 211–213.
Lytvyn O. M., Nechuiviter O. P. 2D koefitsienty Fur’e na klasi dyferentsiyovnykh funktsiy ta splayn-interlinatsiya [ 2D Fourier coefficients on the class of differential functions and spline-interlineation]. Tavriys'kyy visnyk informatyky ta matematyky [Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics]. 2011, no. 1, pp. 51–61.
Lytvyn O. M., Nechuiviter O. P. Splayn-interlinatsiya ta optymal'ni po tochnosti kubaturni formuly obchyslennya 2D koefitsientiv Fur'e odnogo klasu funktsiy [Spline interliniation and optimally accurate cubature formulas for computing 2D Fourier coefficients for a class of functions]. Visnyk Kharkivs'kogo natsional'nogo universytetu imeni V. N. Karazina. Seriya : Matematychne modelyuvannya. Informatsiyni tekhnologiyi. Avtomatyzovani systemy upravlinnya [Bulletin of the V. N. Karazin Kharkiv National University. Series: Mathematical modeling. Information technologies.
Automated control systems]. 2011, no. 16, pp. 207–214.
Lytvyn O. M., Nechuiviter O. P. Nablyzhene obchyslennya podviynykh integraliv vid shvydkoostsyyuyuchykh funktsy z vykorystannyam lagranzhevoyi polinomial'noyi interlinatsiyi [Approximate calculation of double integrals from rapidly varying functions using Lagrangian polynomial interlineation]. Shtuchniy Intelekt [Artificial Intelligence]. 2012, no. 2, pp. 17–23.
Lytvyn O. M., Nechuiviter O. P. Nablyzhene obchyslennya 3D koefitsientiv Fur’e na klasi Geldera z vykorystannyam kuskovo–staloyi splayninterfletatsiyiб[Approximate calculation of 3D Fourier coefficients on the Hölder class using piecewise constant spline interpolation]. Matematychni mashyny ta systemy [Mathematical machines and systems]. 2012, vol. 1, no. 4, pp. 28– 40.
Lytvyn O. N., Nechuyviter O. P. 3D Fourier Coefficients on the Class of Differentiable Functions and Spline Interflatation. Journal of Automation and Information Sciences. 2012, vol. 44, is. 3, pp. 45–56.
Lytvyn O. M., Nechuiviter O. P. Nablyzhene obchyslennya 3D koefitsientiv Fur’e na klasi dyferentsiyovnykh funktsiy za dopomogoyu splayninterfletatsiyi [Approximate calculation of 3D Fourier coefficients on a class of differential functions using spline-interlineation]. Dop. NAN Ukrayiny. Matematyka. Pryrodoznavstvo. Tekhnichny nauky [Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine]. 2012, no. 3, pp. 45–50.
Lytvyn O. M., Nechuiviter O. P. Nablyzhene obchyslennya koefitsientiv Fur’e funktsiy tryekh zminnykh na klasi dyferentsiyovnykh funktsiy [Approximate calculation of the Fourier coefficients of functions of three variables on the class of differential functions]. Shtuchniy Intelekt [Artificial Intelligence]. 2012, no. 1, pp. 37–48.
Lytvyn O. M., Nechuiviter O. P. Approximate Calculation of Triple Integrals of Rapidly Oscillating Functions with the Use of Lagrange Polynomial Interflation. Cybernetics and Systems Analysis. 2014, no. 50(3), pp. 410–418. DOI: 10.1007/s10559-014-9629-1.
Sergienko I. V., Zadiraka V. K., Lytvyn O. M., Mel'nykova S. S., Nechuiviter O. P. Optymal'ni algorytmy obchyslennya integraliv vid shvydkoostsilyuyuchykh funktsiy ta yikh zastosuvannya : u 2 t. T. 1. Algorytmy : monografiya. In-t kibernetyky im. V. M. Glushkova NAN Ukrayiny [Optimal Algorithms for Computing Integrals of Quick-Oscillating Functions and their Applications: in 2 Vol. Vol. 1. Algorithms: monograph. V. M. Glushkov Institute of Cybernetics of the NAS of Ukraine]. Kuiv, Nauk. dumka Publ., 2011. 447 p.
Sergienko I. V., Zadiraka V. K., Lytvyn O. M., Mel'nykova S. S., Nechuiviter O. P. Optymal'ni algorytmy obchyslennya integraliv vid shvydkoostsylyuyuchykh funktsiy ta yikh zastosuvannya : u 2 t. T. 2. Zastosuvannya : monografiya. In-t kibernetyky im. V. M. Glushkova NAN Ukrayiny [Optimal Algorithms for Computing Integrals of Quick-Oscillating Functions and their Applications: in 2 Vol. Vol. 2. Applications: monograph. V. M. Glushkov Institute of Cybernetics of the NAS of Ukraine]. Kyiv, Nauk. dumka Publ., 2011. 348 p.
Sergienko I. V., Zadiraka V. K., Lytvyn O. M., Nechuiviter O. P. Optymal'ni algorytmy obchyslennya integraliv vid shvydkoostsilyuyuchykh funktsiy iz zastosuvannyam novykh informatsiynykh operatoriv [Optimal algorithms for calculating integrals from rapidly oscillating functions using new information operators]. Kyiv, Nauk. dumka Publ., 2017. 336 p.
Nechuiviter O. Р. Оbchyslennya potriynykh integraliv vid trygonometrychnykh funktsiy z vykorystannyam kuskovo–staloyi interfletatsiyi [Calculation of three-dimensional integral from trigonometric function using piece-wise spline-interlineation]. Natsional'nyy tekhnichnyy universytet «Kharkivs'kyy politekhnichnyy instytut». Visnyk Natsional'nogo tekhnichnogo universytetu «KhPI». Seriya: Matematychne modeluvannya v tekhnitsi ta tekhnologiyakh [National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute". Bulletin of National Technical University «KhPI» Series: Mathematical modeling in engineering and technologies]. 2016, no. 6 (1188), pp. 67–71.
Nechuiviter O. Р., Keita K. V. Obchyslennya 2D integraliv vid trigonometrichnih funktsiy z vikoristannyam kuskovo-staloyi interlinatsiyi [Calculation of 2D integrals from trigonometric functions using piecewise constant interlineation]. Matematychne ta komp"yuterne modelyuvannya. Seriya : Fiziko-matematychni nauky : zb. nauk. prats. [Mathematical and computer modeling. Series: Physical and mathematical sciences : coll. of science works]. Kam'yanets–Podil's'kiy, Kam"yanets'–Podil's'kyy natsional'nyy universytet im. Ivana Ogienka Publ., 2016, no. 13, pp. 124 – 131.
Nechuiviter O. Р., Keita K. V. Optymal'ne integruvannya dvovymirnykh shvydkoostsylyuyuchykh funktsiy zagal'nogo vyglyadu [Optimal integration of two-dimensional rapidly oscillating generic functions]. Matematychne ta kompiuterne modelyuvannya [Mathematical and computer modeling]. 2017, vol. 15, pp. 139–144.
Mezhuyev V., Lytvyn O. M., Nechuiviter O., Pershyna Y, Keita K., Lytvyn O. O. Cubature formula for approximate calculation of integrals of two-dimensional irregular highly oscillating functions. U.P.B. Sci. Bull., Series A. 2018, vol. 80, iss. 3, рр. 169–182. https://www.scientific bulletin. upb.ro/rev_docs_arhiva/full772_104997.pdf.
Shekhovtsov A. V. Vplyv tverdykh granyts ta v"yazkosti seredovyshha na vnesok inertsiynoyi ta vykhrovoyi komponent normal'noyi syly plastyny, shho obertaet'sya. Chastyna 1 [Impact of solid boundaries and viscosity of the medium on the contribution of the inertial and vortex components of the normal force of a rotating plate. Part 1]. Visnyk NTU «KhPI». Seriya : Matematychne modelyuvannya v tekhnitsi ta tekhnologiyakh. [Bulletin of the NTU "KhPI". Series: Mathematical modeling in engineering and technology]. Kharkiv, NTU «KhPI» Publ., 2023, no. 1, pp.
–217. DOI: 10.20998/2222-0631.2023.01.31.
Nechuiviter O. P. Сubature formula for approximate calculation integral of highly oscillating function of tree variables (irregular case). Radio Electronics, Computer Science, Control. 2020, vol. 4, рр. 65–73. DOI: 10.15588/1607-3274-2020-4-7.
Nechuiviter O. P., Ivanov S. S., Kovalchuk K. H. Optymal'ne integruvannya shvydkoostsilyuyuchykh funktsiy zagal'nogo vidu [Optimal integration of rapidly oscillating functions of the general form]. Fizyko-matematychne modelyuvannya ta informatsiyni tekhnologiyi [Physical and Mathematical Modeling and Information Technologies]. 2021, no. 33, pp. 68–72. DOI: 10.15407/fmmit2021.33.068.
Nechuiviter O. P., Ivanov S. S., Kovalchuk K. H. Nablyzhene obchyslennya podviynykh integraliv vid shvydkoostsylyuyuchykh funktsiy zagal'nogo vydu [Approximate computation of double integrals of rapidly oscillating generic functions]. Fizyko-matematychne modelyuvannya ta informatsiyni tekhnologiyi [Physical and mathematical modeling and information technologies]. 2023, vol. 37, pp. 37–41. DOI: 10.15407/10.15407/ fmmit2023.37.037.
Lytvyn O. M, Nechuiviter O. P. Nablyzhene obchyslennya podviynykh integraliv z vykorystannyam lagranzhevoyi polinomial'noyi interlinatsiyi [Approximate calculation of double integrals using Lagrangian polynomial interlineation]. Tavriys'kyy visnyk informatyky ta matematyky [Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics]. 2012, no. 1. pp. 66–72.
Nechuiviter O. Р. Application of the theory of new information operators in conducting research in the field of information technologies. Information Technologies and Learning Tools. 2021, vol. 82, no. 2 (2021), pp. 282–296. DOI: 10.33407/itlt.v82i2.4084.
Nechuiviter O. P., Iarmosh O. V., Kovalchuk K. H. Numerical calculation of multidimensional integrals depended on input information about the function in mathematical modelling of technical and economic processes. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 1031 (1), 012059. DOI: 10.1088/1757-899X/1031/1/012059
Nechuiviter O. P., Ivanov S. S., Kovalchuk K. H. Novi informatsiyni operatory v zadachakh chysel'nogo integruvannya funktsiyi trokh zminnykh [New information operators in problems of numerical integration of functions of three variables]. Visnyk NTU «KhPI». Seriya : Matematychne modelyuvannya v tekhnitsi ta tekhnologiyakh [Bulletin of National Technical University «KhPI» Series : Mathematical modeling in engineering and technologies]. Kharkiv, NTU «KhPI» Publ., 2022, no. 1, pp. 82–91. DOI: 10.20998/2222-0631.2022.01.10
