АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ РОЗВ’ЯЗКІВ ЛІНІЙНОГО МАТРИЧНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО РІВНЯННЯ З ПОСТІЙНИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ

Анотація

В статті висвітлено метод дослідження стійкості матричного лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами. Одним з класичних видів матричних диференціальних рівнянь є лінійні матричні диференціальні рівняння, частинним випадком яких є рівняння Ляпунова. Матричні диференціальні рівняння виникають в задачах теорії стійкості, практичної стійкості, теорії оптимального керування і оцінювання стану систем за умов невизначеності. В зв’язку з цим необхідно обчислювати та аналізувати якісні властивості розв’язків матричних диференціальних рівнянь. Постають проблеми існування, єдиності, продовжуваності і аналізу умов стійкості для різних видів таких математичних рівнянь. Метод, розроблений в статті, базується на алгебраїчних властивостях власних чисел, жорданових форм матриць, використовує властивості коренів многочленів. В статті обґрунтовується теорема про умови стійкості, асимптотичної стійкості, нестійкості розв’язків лінійного матричного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами. Розроблена методика полягає у знаходженні максимальних дійсних частин власних чисел, а також у аналізі структури жорданової форми матриць лінійного диференціального рівняння. Наслідком теореми є відповідні умови стійкості матричного рівняння Ляпунова. Для знаходження власних чисел розроблено обчислювальний метод знаходження максимальної дійсної частини коренів многочлена, а також алгоритм знаходження коренів многочлена. В основі підходулежить теорема Рауса – Гурвіца. Наведено результати обчислювальних експериментів.