СТРОГЕ ОБҐРУНТУВАННЯ МЕТОДУ ФУР’Є В КРАЙОВИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ДЛЯ СИМЕТРИЧНО НАВАНТАЖЕНОГО ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ІЗОТРОПНОГО СТИСНУТОГО СФЕРОЇДА ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ ДЛЯ ПОРОЖНЬОГО СФЕРОЇДА

Анотація

Уперше звичайним методом Фур’є отримано точний аналітичний обґрунтований розв’язок другої осесиметричної крайової задачі теорії пружності в загальній постановці для кулі з концентричним сферичним включенням. У наукових працях класиків природознавства 19 і 20 століть M. G. Lame, W. Thomson, C. Somigliana, V. Cerruti, B. G. Galerkin, G. Fichera, A. I. Lurie, E. Strenberg, А. Ф. Улітко розв’язувалися пружні задачі для суцільної кулі, простору зі сферичною порожниною і кулі з концентричною сферичною порожниною в різних постанов- ках. Але навіть ці задачі не було строго обґрунтовано. Задача, яка розглядається в цій статті, значно складніша, оскільки пов’язана зі спря- женням полів переміщень і напружень на межі включення. Тому, мабуть, її раніше не розглядали. Обґрунтування розв’язку подібної задачі та встановлення її класу розв’язності звичайним методом Фур’є базується на аналізі розв’язувальної алгебраїчної системи шостого порядку з коефіцієнтами, які залежать від п’яти незалежних неперервних параметрів і одного дискретного. Загальний розв’язок задачі подається у ви- гляді рядів за осесиметричними векторними базисними розв’язками рівняння Ламе для кулі, побудованими авторами в одній з попередніх статей. Після переходу до напружень і задоволення граничних умов отримано розв’язувальну систему вказаного вище вигляду. При аналізі системи вперше знайдено нижню оцінку модуля її визначника, з якої не тільки випливає умова однозначної розв’язності системи, а ще й оцінки розв’язків самої системи. При оцінці визначника було доведено нову класичну нерівність для одного неперервного і одного дискрет- ного параметрів, невідому авторам. Наступним кроком було доведено теорему про умови, які треба накласти на вектор зовнішнього наван- таження, прикладеного до поверхні кулі, які забезпечують існування розв’язку задачі в певному класі функції. При чисельній реалізації розв’язку задачі розглядалися два типи навантажень на зовнішню поверхню кулі, які задовольняють умову врівноваженості. Проведено комп’ютерний експеримент з трьома матеріалами кулі і включення: сталь, латунь, алюміній. Отримано графіки нормальних і дотичних на- пружень на поверхні включення, проведено їх параметричний аналіз в залежності від геометричних і механічних параметрів. Досліджено практичну збіжність методу.