ДИСКРЕТНО-АНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ

Анотація

Обговорюються можливості специфічного підходу до розв’язання задач математичної фізики, які описуються лінійними диференціальними рівняннями. Для такого типу рівнянь накопичено значний об’єм розв’язків конкретних задач для так званих канонічних областей. Загальною характерною особливістю таких областей є те, що їх границя є координатною поверхнею в декартових, циліндричних, сферичних координатах. Саме в таких координатних системах для лінійних рівнянь накопичено значний досвід в побудові частинних розв’язків. Стаття присвячена дослідженню можливостей використання таких відомих частинних розв’язків при вирішенні задач пошуку кількісних характеристик фізичних полів в областях довільної форми. Аналіз наявних аналітичних розв’язків для канонічних областей дозволяє сформулювати нове поняття загального розв’язку граничної задачі для певного класу уже неканонічних областей. Специфічною рисою таких областей є те, що їх граничні поверхні формуються як частини координатних поверхонь в указаних координатних системах. При цьому принципово важливою є та обставина, що для лінійних рівнянь є справедливим принцип суперпозиції, коли будь-яка сума частинних розв’язків є також розв’язком граничної задачі. Дослідження загальних розв’язків граничних задач для неканонічних областей вказує на можливості побудови таких розв’язків різної форми для кожної конкретної задачі. Використання таких загальних розв’язків відкриває певні можливості для зменшення об’ємів обчислювальних процедур при виконанні обчислень у випадку задач для загальних неканонічних областей. При цьому використовується ідея поділу заданої області на частинні складові. В одній із них для представлення поля використовується аналітичний загальний розв’язок, а в решті областей використовуються традиційні підходи до дискретизації, наприклад, метод скінченних елементів. Приведено твердження про можливості використання різних форм загального розв’язку та представлені конкретні приклади обчислень. Обговорюється питання про різні алгоритми для обчислювальних процедур при виконанні граничних умов і умов спряження на додаткових поверхнях.