ПЕРІОДИЧНІ РЕЖИМИ В МОДЕЛІ МАТЕМАТИЧНОГО МАЯТНИКА З ІМПУЛЬСНОЮ ДІЄЮ

Автор(и)

  • Валентин Володимирович Собчук Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Ukraine
  • Вікторія Андріївна Недбайло Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Ukraine

DOI:

https://doi.org/10.20998/2222-0631.2023.01.27

Ключові слова:

математичний маятник, періодичні розв’язки, імпульсна дія, моменти часу, цикли, періодичні точки

Анотація

Робота присвячена встановленню умов існування періодичних режимів в моделі математичного маятника з імпульсною дією. Важливим аспектом є те, що така система зазнає дії миттєвих сил у моменти проходження рухомою точкою деякого фіксованого положення. До того ж вона піддається імпульсній дії в нефіксовані моменти часу та збільшує кількість руху в такі моменти на деяку величину. У роботі наведені деякі теоретичні аспекти, а також наведено опис послідовності моментів часу, що описує механізм зведення задачі з імпульсною дією в нефіксовані моменти часу до задачі про пошук нерухомих точок інтервалу в себе. Актуальність та ступінь дослідженості проблеми розкривається шляхом порівняння існуючих розв’язків задачі та знаходження і доповнення новими. Власне в цьому і є головне завдання цієї роботи. Його виконання потребує дослідити існування умов, що забезпечують існування циклів, яким відповідають періодичні розв’язки. В роботі досліджено диференціальне рівняння другого порядку з імпульсною дією у конкретному випадку при фіксованому значенні положення ім­пульс­ної дії в залежності від значень параметрів у функції імпульсної дії. Як результат було знайдено два цикли періоду три. Також продемонстровано шляхом перевірки, що наведені цикли утворюють періодичні розв’язки. Отримані результати записано максимально детально та інформативно. В роботі отримано явний вигляд точок, що гарантують існування періодичних режимів в системі математичного маятника з імпульсною дією та наведено два графіки,  що демонструють результати досліду: проілюстровано в кольорах як змінюються тра­єк­торії піс­ля кожної дії імпульсних сил. Використовуючи наслідок з теореми Шарковського, показано, що якщо функція є неперервною і має періодичну точку періоду три, то вона має періодичні точки будь-якого натурального періоду. Відтак, в системі існують такі періодичні режими, при яких фазова точка зазнає імпульсної дії рівно n разів за період, де n – довільне натуральне число.

Посилання

Perestyuk N. A., Plotnikov V. A., Samoilenko A. M., Skripnik N. V. Differential Equations with Impulse Effects: Multivalued Right-hand Sides with Discontinuities. Berlin, Boston : De Gruyter, 2011. 307 p. https://doi.org/10.1515/9783110218176.

Kapustyan O. V., Asrorov F. A., Perestyuk Y. M. On the Exponential Stability of a Trivial Torus for One Class of Nonlinear Impulsive Systems. Journal of Mathematical Sciences (United States). 2019, vol. 238(3), pp. 263–270. doi: https://doi.org/10.1007/s10958-019-04234-9.

Samoilenko A. M., Samoilenko V. G., Sobchuk V. V. On periodic solutions of the equation of a nonlinear oscillator with pulse influence. Ukrainian Mathematical Journal. New York, Springer, 1999, vol. 51, no. 6, pp. 926–933.

Sobchuk V., Kapustyan O., Pichkur V., Kapustian O. Design of Stable Periodic Regimes for one Class of Hybrid Planar Systems. II International Scientific Symposium «Intelligent Solutions» September 28 – 30. Kyiv, 2021. pp. 89–100.

Asrorov F., Sobchuk V., Kurylko O. Finding of bounded solutions to linear impulsive systems. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. 2019, vol. 6, no. 4, pp. 14–20. doi:10.15587/1729-4061.2019.178635.

Asrorov F., Perehuda О., Sobchuk V., Sukretna A. Establishing conditions for the existence of bounded solutions to the weakly nonlinear pulse systems. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. 2021, no. 4 (4 (112)), pp. 6–12. doi: https://doi.org/10.15587/1729-4061.2021. 238208.

Reissig R., Sansone C., Conti R. Qualitative theorie nichtlinearer differentialgleichungen. Rome : Edizioni Cremonese, 1963. 320 p.

Jordan D. W., Smith P. Nonlinear ordinary differential equations. London, Oxford Univ. Press, 1987. 381 p.

Pichkur V. V., Kapustyan O. V., Sobchuk V. V. Teoriya dynamichnykh system (navchal'nyy posibnyk) [The theory of dynamical systems (educational manual)]. Lutsk, Vezha-druk Publ., 2020. 348 p.

Sharkovsky A. N., Kolyada S. F., Sivak A. G., Fedorenko V. V. Dynamics of One-Dimensional Maps. Springer-Science+Business Media, B.Y., 1997. 262 р.

##submission.downloads##

Опубліковано

2023-08-01