ПОБУДОВА РОЗВ’ЯЗКУ СИСТЕМИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЮ ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ

Анотація

В даній роботі розглянуто систему сингулярно збурених диференціальних рівнянь 4-го порядку з малим параметром при старшій похідній і точкою звороту. Точка звороту x=0 є крайньою точкою відрізку, що розглядається [-l;0]. Коефіцієнти заданої матриці є нескінченно диференційованими функціями на заданому відрізку. Мета – побудувати рівномірну асимптотику розв’язку для системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з диференціальною точкою звороту на відрізку [-l;0]. В даному випадку спектр граничного оператора містить кратні і тотожно рівні нулю елементи. Рівномірний асимптотичний розв’язок побудовано методом істотно особливих функцій з ви­ко­рис­танням функцій Ейрі [0;l] та їх похідних. Дослідження показали, що для побудови рівномірного асимптотичного розв’язку задач з точками звороту апарат функцій та модельних рівнянь Ейрі є досить ефективним. Також було встановлено, що для виділення цих функцій поряд з незалежною змінною необхідно ввести нову змінну t на відрізку [0;l]. В результаті було одержано розширену задачу, що дасть можливість фор­маль­но побудувати розв’язок у вигляді рядів за малим параметром. Конструкції розв’язків одержано шляхом послідовного розв’язання систем ітераційних рівнянь, які на певному кроці ітерацій дозволяють визначити всі компоненти шуканих вектор-функцій з точністю до двох скалярних множників, які утворюють довільний вектор. Регуляризуючу функцію вибрано таким чином, що функція Ейрі B_i(t) необмежено зростає, коли t прямує до нескінченності. Проведені дослідження показали, при жодному співвідношенні знаків коефіцієнта матриці, біля якого знаходиться точка звороту, не можна записати гладкий розв’язок у вигляді одного аналітичного виразу. Розв’язок виродженого векторного рівняння у загальному випадку має розрив другого роду в точці звороту, тому для побудови асимптотичного розв’язку даної задачі в явному вигляді його використовувати не можна. З цією метою було застосовано прийом з класичної теорії лінійних диференціальних рівнянь і одержано розв’язки для виродженого рівняння 2-го порядку.