МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В КОМП’ЮТЕРНІЙ ТОМОГРАФІЇ З ВИКОРИСТАННЯМ НОВИХ ІНФОРМАЦІЙНИХ ОПЕРАТОРІВ
DOI:
https://doi.org/10.20998/2222-0631.2022.01.12Ключові слова:
нові інформаційні оператори, інтерполяція, інтерлінація, інтерфлетація, розривна функція, комп’ютерна томографіяАнотація
Досліджуються методи відновлення внутрішньої структури об’єкта з використанняи (м) нових інформаційних операторів, що розроблені українським науковцем професором Литвиним О.М., а саме – інтерлінація(її) та інтерфлетація (її). Оператори інтерлінації та інтерфлетації відновлюють функції (можливо, наближено) за відомими їх слідами на даній системі прямих та площин відповідно. В роботі наводиться розв’язання тривимірної задачі комп’ютерної томографії з використанням оператора інтерфлетації функції. В якості експериментальних даних виступають томограми, отримані з реально діючого комп’ютерного томографу, та рівняння площин, на яких ці томограми лежать. В роботі розглядається задача відновлення коефіцієнта поглинання всередині тривимірного об’єкту за його томограмами, що лежать на системі трьох груп паралельних площин, які не обов’язково є перпендикулярними координатним осям. Крім того, будується оператор інтерфлетації на системі площин, кожна з яких не обов’язково перетинається з усіма іншими. Також розробляється метод відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла, який використовує чотири томограми та будується за допомогою інтерфлетації функцій трьох змінних. Крім того, представляються загальні види щільностей або коефіцієнтів поглинання об’єктів, які описуються функціями, що точно відновлюються за допомогою вказаної інформації. В роботі будується метод відновлення внутрішньої структури тіла з використанням оператора мішаної апроксимації поліномами Бернштейна. Цей метод рекомендується використовувати в тих випадках, коли експериментальні дані (характеристики томограм – геометричні параметри площини, на якій лежить томограма, а також зображення на томограмах) задані з похибкою, і коли класичні оператори інтерполяції та інтерфлетації не згладжують дані, а повторюють всі похибки в експериментальних даних. Далі розроблені нові інформаційні оператори використовуються для відновлення динамічного тіла. В даній статті розв’язується задача двовимірної комп’ютерної томографії не тільки з використанням нових інформаційних операторів, але й з урахуванням неоднорідності внутрішньої структури досліджуваного тіла. Усі запропоновані методи мають високу точність.
Посилання
Natterer F. The Mathematics of Computerized Tomography. Society for Industrial and Applied Mathematics. 2001. 222 p.
Radon J. Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten. Berichte über die Verhandlungen der Sächsische Akademie der Wissenschaft, Leipzig, Math. – Phys. Kl. 1917, 69, pp. 262–277.
Sergienko I. V., Zadiraka V. K., Lytvyn O. M., Pershyna Yu. I. Teoriya rozryvnykh splayniv ta yiyi zastosuvannya v komp"yuterniy tomografiyi : monografiya [Theory of discontinuous splines and their application in computer tomography: monograph]. Кyiv, Naukova dumka Publ., 2017. 314 p.
Buzug T. Computed Tomography : From Photon Statistics to Modern Cone-Beam CT. Springer-Verlag, 2008. 522 p. DOI: 10.1007/978-3-540-39408-2.
Kak A. C., Slaney M. Principles of Computerized Tomographic Imaging. Society of Industrial and Applied Mathematics. 2001. 323 p. DOI: 10.1137/1.9780898719277.
Tulyakova N. O., Trofymchuk O. M. Matematychni metody rentgenivs'koyi komp"yuternoyi tomografiyi [Mathematical methods of X-ray computer tomography]. Matematychne modelyuvannya v ekonomitsi [Mathematical modeling in economics]. 2019, no. 4, pp. 50–66.
Sergienko I., Zadiraka V., Lytvyn O. M. Interlineation of Functions. іn Springer book : Elements of the General Theory of Optimal Algorithms. 2021. pp. 75–176. DOI: 10.1007/978-3-030-90908-6_3.
Sergienko I., Zadiraka V., Lytvyn O. M. Interflatation of Functions. іn Springer book : Elements of the General Theory of Optimal Algorithms. 2021. pp. 177–251. DOI: 10.1007/978-3-030-90908-6_4.
Nikol'skiy S. M. Granichnye svoystva funktsiy, opredelyennykh na oblasti s uglovymi tochkami [Boundary properties of functions, determined in a region with corner points]. Matematicheskiy sbornik [Mathematical digest]. 1958, vol. 45(87), no. 2, pp. 181–194.
Lytvyn O. M., Pershyna Yu. I. Matematychna model' vidnivlennya tryvymirnykh ob"ektiv za yikh tomogramamy na systemi tr'okh grup pererizanykh ploshhyn z vykorystannyam interfletatsiyi funktsiyi [Mathematical model of reconstruction of three-dimensional objects by their tomograms on a system of three groups of plains using interflatation of functions]. Dopovidi NANU [Reports of the National Academy of Science of Ukraine]. 2005, no. 8, pp. 67–71.
Kapustyan O. V., Perestyuk M. O., Stanzhyts'kyy O. M. Ekstrema'lni zadachi : teoriya, pryklady, metody rozv"yazannya [Extremum problems : theory, examples, solution methods]. Kyiv, KNU im. T.G. Shevchenka publ., 2019. 63 p.
Jia X., Lou Y., Dong B. Computed Tomography Reconstruction from Few-Projection Data via Temporal Non-local Regularization. Medical Image Computing and Computer-Assisted Intervention : proceedings of the conference, Part I. 2010, pp. 143–150. DOI: 10.1007/978-3-642-15705-9_18.
Lytvyn O. N., Pershyna Yu. I., Sergienko S. V. Vosstanovlenie razryvnykh funktsiy dvukh peremennykh, kogda linii razryva neizvestny (pryamougol'nye elementy) [Восстановление разрывных функций двух переменных, когда линии разрыва неизвестны (прямоугольные элементы)]. Kibernetika i sistemnyy analiz [Cybernetics and system analysis]. 2014, no. 4, pp. 126–134.
Sin'kov M. V., Zakidal'skiy A. I. Ob"emnaya rekonstruktsiya «bol'shikh» ob"ektov na tomografakh s ogranichennoy po razmeram matritsey detektorov [Volume reconstruction of huge objects by the tomogram with detector matrix limited in size]. Reiestratsiia, zberihannia i obrobka danykh [Registration, storing and processing of data]. 2003, vol. 5, no. 3. pp. 18–25.
