РЕКОНСТРУКЦІЯ ГАУСОВСЬКИХ ВИПАДКОВИХ ФУНКЦІЙ ЗА ДАНИМИ СПЕКТРУ
DOI:
https://doi.org/10.20998/2222-0631.2021.02.11Ключові слова:
кореляційна функція, трикутні моделі операторів, нестаціонарні випадкові послідовності і процеси, спектр оператора, ранг нестаціонарності, квазірангАнотація
Відомо, що стаціонарний випадковий процес зображується у вигляді суперпозиції гармонічних коливань із дійсними частотами та некорельованими амплітудами. При дослідженні нестаціонарних процесів природною є наявність зростаючих або згасаючих коливань. При цьому виникає задача побудови алгоритмів, які дозволяли би конструювати з елементарних нестаціонарних випадкових процесів широкі класи нестаціонарних процесів. Природним узагальненням поняття спектру нестаціонарного випадкового процесу є перехід від дійсного спектру у випадку стаціонарності до комплекснозначного або нескінченнократного спектру в нестаціонарному випадку. Також виникає проблема опису в межах кореляційної теорії випадкових процесів, у яких спектр не має аналогів у випадку стаціонарних випадкових процесів, а саме, точка спектру дійсна, але у відповідного оператора в операторному зображенні ця точка нескінченної кратності, а також, коли сам спектр комплексний. Реконструкція за комплексним спектром нестаціонарної випадкової функції є досить актуальною проблемою як у теоретичному, так і в прикладному аспектах. В статті розроблена процедура реконструкції випадкового процесу, послідовності, поля за спектром для гаусівських випадкових функцій. Порівняно до стаціонарного випадку, тут відкриваються більш широкі можливості, наприклад, побудова нестаціонарного випадкового процесу з дійсним спектром, який має нескінченну кратність та який може бути розподіленим на всьому скінченному відрізку дійсної осі. Наявність такого спектру приводить, на відміну від випадку стаціонарного випадкового процесу, до появи нових складових у спектральному розкладі випадкових функцій, які відповідають внутрішнім станам «струн», тобто породжуються розв’язками систем рівнянь у часткових похідних гіперболічного типу. В статті розглянуто різні випадки спектру несамоспряженого оператора , а саме, випадок дискретного спектру та випадок неперервного спектру, який розташований на скінченному відрізку дійсної осі, що є областю значень дійснозначної неспадної функції a(x) . Розглянуто випадки a(x)=0, a(x)=a0, a(x)=x та a(x) – кусково-постійна функція. Автори вважають перспективними відновлення нестаціонарних послідовностей для різних випадків спектра несамоспряженого оператора тому, що спектральні розклади є суперпозицією дискретних або континуальних внутрішніх станів осциляторів із комплексними частотами та некорельованими амплітудами і тому матимуть глибокий фізичний зміст.
Посилання
Kolmogorov A. N. Statsionarnyye posledovatel'nosti v gil'bertovom prostranstve [Stationary sequences in Hylbert]. Byul. MGU [Bul-letin of the Moscow State University]. 1941, Vol. 2 : Matematika, no. 6, pp. 1–40.
Kozulyayev P. A. K voprosu ob ekstrapolyatsii statsionarnykh protsessov [On the problem of extrapolation of stationary processes]. Doklady Akademii Nauk SSSR [Reports of the Academy of Science of the USSR]. 1947, vol. LVI, no. 9, pp. 903–905.
Kozulyayev P. A. K problemam interpolyatsii i ekstrapolyatsii statsionarnykh posledovatel'nostey [On the problems of interpolation and extrapolation of stationary sequences]. Doklady Akademii Nauk SSSR [Reports of the Academy of Science of the USSR]. 1941, vol. XXX, no. 1, pp. 13–17.
Yaglom A. M. Vvedeniye v teoriyu statsionarnykh sluchaynykh funktsiy [Introduction to the theory of random stationary functions]. UMN [Achievements of Mathematical Sciences]. 1952, vol. 1, no. 5(51), pp. 3–168.
Rozanov YU. A. Statsionarnyye sluchaynyye protsessy [Stationary random processes]. Moscow, Fizmat. giz. Publ., 1963. 284 p.
Livshits M. S. Ob odnom klasse lineynykh operatorov v gil'bertovom prostranstve [On a class of operators in Hylbert space]. Matem. sb. [Mathematical Collection]. 1946, no. 19(61):2, pp. 239–62.
Livshits M. S., Yantsevich A. A. Teoriya operatornykh uzlov v gil'bertovykh prostranstvakh [Theory of operator nodes in Hylbert spaces]. Kharkov, Izd-vo KHGU Publ., 1971. 160 p.
Arov D. 3. Passivnyye lineynyye statsionarnyye dinamicheskiye sistemy [Passive stationary linear dynamic systems]. Sibirskiy ma-tem. Zhurnal [Siberian Mathematical Journal]. 1979, vol. 20, no. 2, pp. 211–228.
Brodskiy M. S. Treugol'nyye i zhordanovy predstavleniya lineynykh operatorov [Triangular and Jordan representations of linear opera-tors]. Moscow, Nauka Publ., 1969. 287 p.
Brodskiy M. S., Livshits M. S. Spektral'nyy analiz nesamosopryazhennykh operatorov i promezhutochnyye sistemy [Spectral analy-sis of non-self-adjoint operators and intermediate systems]. Uspekhi matem. Nauk [Achievements of Mathematical Sciences]. 1958, vol. 8, no. 1(79), pp. 3–85.
Vaksman L. L. Garmonicheskiy analiz mnogoparametricheskikh polugrupp szhatiy [Harmonic analysis of multivariate contraction semigroups]. Kharkov, Khar'kovskiy gosuniversitet Publ., 1979. 167 p. (Rukopis' deponirovana v VINITI №3991 – 80 dep.).
Gikhman I. I., Skorokhod A. V. Vvedeniye v teoriyu sluchaynykh protsessov [Introduction to the theory of random processes]. Mos-cow, 1977. 654 p.
Gokhberg I. TS., Kreyn M. G. Vvedeniye v teoriyu lineynykh nesamosopryazhennykh operatorov [Introduction to the theory of non-self-adjoint linear operators]. Moscow, 1965. 448 p.
Zolotarev V. A. Ob otkrytykh sistemakh i kharakteristicheskikh funktsiyakh kommutiruyushchikh sistem operatorov [On open systems and characteristic functions of commutating systems of operators]. Kharkov, Khar'kovskiy gos. un-t Publ., 1979 (rukopis' deponi-rovana v VINITI № 858 – 79 dep.).
Zolotarev V. A. O treugol'nykh modelyakh sistem dvazhdy perestanovochnykh operatorov [On triangular models of systems of twice commutative operators]. DAN Arm. SSR [Reports of the Academy of Science of the Armenian SSR]. KHP, 1976, no. 3, pp. 136–140.
Polyatskiy V. T. O privedenii k treugol'nomu vidu kvaziunitarnykh operatorov [On reducing quasiunitary operators to triangular form]. DAN SSSR [Reports of the Academy of Science of the USSR]. 1957, no. 113, pp. 756–759.
Sakhnovich L. A. Dissipativnyye operatory s absolyutno nepreryvnym spektrom [Dissipative operators with absolutely continuous spectrum]. Trudy Mosk. matem. Obshchestva [Proceedings of the Moscow Mathematical Society]. 1968, no. 19, pp. 211–270.
Bunce J. The Joint Spectrum of Commuting Nonnormal operators. Proc. Amer, math, soc. 1971, no. 29, pp. 499–505
Taylor J. L. A joint spectrum for several commuting operators. J. Funct. Anal. 1970, no. 6, pp. 172–191.
Kogut E. A., Cheremskaya N. V., Yantsevych A. A. O predstavlenii rezolʹvent volʹterrovykh operatorov [On representing resolvents of Volterra operators]. Krayovi zadachi dlya dyferentsialʹnykh rivnyanʹ : Zb. nauk. pr. [Boundary problems for differential equations. Collection of scientific papers]. Kyiv, In-t matematyky NAN Ukrayiny Publ., 1998, vol. 1 (17), pp. 99–101.
Nazirov Z. F., Cheremsʹka N. V., Yantsevych A. A. Pro odyn klas neodnoridnykh vypadkovykh poliv [On a class of heterogeneous random fields]. Visnyk Natsionalʹnogo tekhnichnogo universytetu «Kharkivsʹkyy politekhnichnyy instytut». Zbirnyk naukovykh pratsʹ. Tematychnyy vypusk : Matematychne modelyuvannya v tekhnitsi ta tekhnologiyakh [Bulletin of the National Technical University “Kharkiv Polytechnic Institute”. Series: Mathemetical Modeling in engineering and Technologies]. Kharkiv, NTU «KHPI» Publ., 2011, no. 13, pp.146–153.
Nazirov Z. F., Cheremsʹka N. V., Yantsevych A. A. Liniyni peretvorennya dyskretnykh vypadkovykh poliv [Linear transformations of discrete random fields]. Visnyk Natsionalʹnogo tekhnichnogo universytetu «Kharkivsʹkyy politekhnichnyy instytut». Zbirnyk naukovykh pratsʹ. Tematychnyy vypusk : Matematychne modelyuvannya v tekhnitsi ta tekhnologiyakh [Bulletin of the National Tech-nical University “Kharkiv Polytechnic Institute”. Series: Mathemetical Modeling in engineering and Technologies]. Kharkiv, NTU «KHPI» Publ., 2011, no. 42, pp. 144–154.
