ПРО АПРОКСИМАЦІЇ ПЕРІОДИЧНИХ ATEB-ФУНКЦІЙ
DOI:
https://doi.org/10.20998/2222-0631.2021.02.09Ключові слова:
Ateb-синус, Ateb-косинус, два способи апроксимації, наближення елементарними функціями, точки колокаціїАнотація
Запропоновано два варіанти апроксимаційних формул для періодичних Ateb-синуса і Ateb-косинуса в першій чверті їх періоду. Перший варіант – це наближення типу Паде, які одержано ітераційним способом при побудові аналітичного розвʼязку відповідного інтегрального рівняння зі згортанням степеневого ряду в замкнену суму за формулою Шенкса. Розглянуто два ітераційних наближення. Перше більш компактне, але має гіршу точність, що понижується із збільшенням значення аргументу. Щоб усунути цей недолік, додатково запропоновано гібридну апроксимацію, де обчислення значень Ateb-функцій на початку (для косинуса) і в кінці (для синуса) чверті їх періоду має проводитись за окремою формулою, що була одержана раніше асимптотичним методом. Порівняльний аналіз наближених і точних значень спеціальних функцій показав, що похибка запропонованих апроксимацій є меншою за один відсоток. Другий варіант наближення – це заміна періодичних Ateb-функцій тригонометричними функціями окремих аргументів, вибраних так, щоб значення спеціальних функцій були точними в деяких точках чверті періоду. В роботі виділено пʼять таких точок колокації. Для реалізації цього варіанту апроксимації складено окрему таблицю значень періодичних Ateb-функцій в точках колокації. Наведено приклади розрахунків, де показано, що і другий варіант апроксимації дає гарну точність наближеного обчислення значень спеціальних функцій.
Посилання
Sokil B. I. Pro zastosuvannya Ateb-funktsiy dlya pobudovy rozv"yazkiv deyakykh rivnyan', yaki opysuyut' neliniyni kolyvannya odnovymirnykh seredovyshh [On application of Ateb-functions for constructing solutions to some equations describing nonlinear oscillations of one-dimensional media]. Dopovidi Natsional'noyi akademiyi nauk Ukrayiny [Reports of the National Academy of sci-ence of Ukraine]. 1997, no. 1, pp. 55–58.
Sokil B. I., Lishhyns'ka Kh. I. Asymptotychnyy metod i periodychni Ateb-funktsiyi u doslidzhennyakh kolyvnykh protsesiv rukho-mykh neliniyno pruzhnykh odnovymirnykh system [Asymptotic methods and periodic Ateb-functions in studying vibration processes of mobile nonlinearly elastic one dimensional systems]. Visnyk natsional'nogo universytetu "L'vivs'ka politekhnika". Seriya : Dynamika, mitsnist' i proektuvannya mashyn i pryladiv [Bulletin of the National University «Lviv Polytechnic». Series: Dynamics, strength and development of machines and devises]. Lviv, Vydavnytstvo L'vivs'koyi politekhniky Publ., 2006, no. 556, pp. 57–64.
Pukach P. Ya., Kuzio I. V. Resonance phenomena in quasi-zero stiffness vibration isolation system. Naukovyi Visnyk Natsionalnoho Hirnychoho Universytetu. 2015, issue 3, pp. 62–67.
Pukach P. Ya. Investigation of bending vibration in Voigt – Kelvin bars with regard for nonlinear resistance force. Journal of Mathe-matical Sciences. 2016, vol. 215, issue 1, pp. 71–78.
Gendelman O., Vakakis A. F. Transition from localization in strongly nonlinear damped oscillators. Chaos, Solitons and Fractals. 2000, vol. 1, no. 10, pp. 1535–1542.
Cveticanin L., Podany T. Oscillator with a Sum of Nonintegor – Order Nonlinearities. Hindawi Publishing Corporation. Journal of Applied Mathematics. 2012, Articl ID 649050, 20 p.
Dronyuk I. M., Nazarkevych M. A., Tkhir V. I. Obchyslennya rezul'tativ modelyuvannya Ateb-funktsiyamy zakhystu informatsiyi [Computing results of modeling information protection by Ateb-functions]. Visnyk natsional'nogo universytetu "L'vivs'ka politekhnika". Komp"yuterni nauky ta informatsiyni tekhnologiyi [Bulletin of the National University «Lviv Polytechnic». Series: Com-puter sciences and information technologies]. Lviv, Vydavnytstvo L'vivs'koyi politekhniky Publ., 2010, no. 686, pp. 121–126.
Grytsyk V. V., Nazarkevych I. M. Dokumental'no zakhyshheni informatsiyni tekhnologiyi zasobamy Ateb-funktsiy [Secured infor-mation technologies by means of Ateb-functions]. Problemy upravlinnya i avtomatyky [Problems of control and automation]. 2009, no. 2, pp. 139–152.
Ol'shans'kiу V. P., Ol'shans'kiу S. V. Ateb-synus u rozv"yazku zadachi Gertsa pro udar [Ateb–sine in the solution of Hertz’s problem of impact]. Visnyk NTU «KhPI». Seriya : Matematichne modelyuvannya v tekhnstsi ta tekhnologiyakh [Bulletin of the NTU "KhPI". Se-ries: Mathematical modeling in engineering and technology]. Kharkov, NTU «KhPI» Publ., 2018, no. 3 (1279), pp. 98–103.
Ol'shanskii V., Spol'nik O., Slipchenko M., Znaidiuk V. Modeling the elastic impact of a body with a special point at its surface. East-ern – European Journal of Enterprise Technologies. 2019, vol. 1/7 (97), pp. 25–32.
Olshanskiy V., Burlaka V., Slipchenko M. Solution of the equation of force of impact of solids expressed by the Ateb-sine. Ukrainian Journal of Mechanical Engineering and Materials Science. 2019, vol. 5, no. 2, pp. 53–60.
Cveticanin L. A review on dynamics of mass variable system. Journal of the Serbian Society for Computation Mechanics. 2012, vol. 6, no. 1, pp. 56–74.
Grytsyk V. V., Nazarkevych M. A. Matematychni modeli algorytmiv i realizatsiya Ateb-funktsiy [Mathematical models of algorithms and implementation of Ateb-functions]. Dopovidi Natsional'noyi akademiyi nauk Ukrayiny [Reports of the National Academy of sci-ence of Ukraine]. 2007, no. 12, pp. 37–42.
Abramovits М., Stigan I. Spravochnik po spetsial'nym funktsiyam (s formulami, grafikami i matematicheskimi tablitsami) [Handbook of special functions (with formulas, graphs and mathematical tables)]. Moscow, Nauka Publ., 1979. 832 p.
Kil'chevskiy N. A. Dinamicheskoe kontaktnoe szhatie tverdyih tel. Udar [Dynamic contact compression of solids. Blow]. Kyiv, Nau-kova dumka Publ., 1976, 319 p.
Ol'shans'kyy V. P. Nablyzhenyy rozv"yazok integral'nogo rivnyannya udaru til z syngulyarnoyu tochkoyu na poverkhni kontaktu [Approximate solution of the integral equation of body shock with a singular point on the surface of the contact]. Visnyk NTU «KhPI». Seriya : Matematichne modelyuvannya v tekhnstsi ta tekhnologiyakh [Bulletin of the NTU "KhPI". Series: Mathematical modeling in engineering and technology]. Kharkov, NTU «KhPI» Publ., 2019, no. 22 (1347), pp. 62–67.
Ol'shans'kyy V. P. Porivnyannya nablyzhenykh rozv"yazkiv integral'nogo rivnyannya syly udaru til v teoriyi Gertsa [Comparison of approximate solutions to impact strength integral equation in the framework of Hertz theory]. Visnyk Natsionalʹnoho tekhnichnoho universytetu «KhPI». Seriya : Matematichne modelyuvannya v tekhnstsi ta tekhnologiyakh [Bulletin of the National Technical Universi-ty "KhPI". Series : Mathematical modeling in engineering and technology]. Kharkov, NTU «KhPI» Publ., 2019, no. 8 (1333), pp. 244–249.
Ol'shans'kyy V. P., Ol'shans'kyy S. V. Pro rukh ostsylyatora zi stepenevoyu kharakterystykoyu pruzhnosti [On the movement of an oscillator with power elasticity characteristic]. Vibratsiyi v tekhnitsi ta tekhnologiyakh. Vseykrayins'kyy naukovo-tekhnichnyy zhurnal [Vibrations in technic and technologies. Pan-Ukrainian scientific and technical journal]. Vinnitsa, 2017, no. 3 (86), pp. 34–40.
Ol'shans'kyy V. P., Ol'shans'kyy S. V. Analitychnyy rozv"yazok zadachi pruzhnogo udaru konusa po pivprostoru [Analytic solution of the elastic impact problem for a cone over a half-space]. Visnyk NTU «KhPI». Seriya : Dynamika i mitsnist' mashyn [Bulletin of the NTU "KhPI". Series : Dynamics and strength of machines]. Kharkov, NTU «KhPI» Publ., 2019, no. 1, pp. 40–45.
