МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІЧНОГО ТРИВИМІРНОГО ТІЛА З ВИКОРИСТАННЯМ ОПЕРАТОРІВ ІНТЕРФЛЕТАЦІЇ ТА МІШАНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ
DOI:
https://doi.org/10.20998/2222-0631.2020.01.08Ключові слова:
томографія, мішана апроксимація, інтерфлетація, поліноми Бернштейна, динамічне моделювання, тривимірне моделюванняАнотація
Розглядається задача відновлення внутрішньої структури (щiльностi, коефіцієнта поглинання або послаблення) тривимірного тiла за допомогою інформації про неї у вигляді томограм, що задані на деякій системі площин, які перетинають об’єкт дослідження. Ця задача виникає на практиці в тих випадках, коли серед площин, які входять в експериментальні дані, немає площини, що складається з того чи іншого набору точок, які цікавлять дослідника. Наприклад, така задача може виникнути після того, як пацієнт пройшов дослідження на медичному томографі. I після аналізу отриманих томограм виникає необхідність знайти за їх допомогою ще одну чи декілька томограм в площинах, які перетинають тіло та не співпадають з жодною із заданих площин. Зазначається, що оператори інтерфлетації функцій є природнім узагальненням операторів інтерполяції функцій трьох змінних. Тому, як і у випадку інтерполяції, похибки в експериментальних даних (в даному випадку, в томограмах) привносяться також і в оператори інтерфлетації. В математиці існує альтернатива операторам інтерполяції – оператори апроксимації. Це оператори, що побудовані шляхом згладжування експериментальних даних за допомогою поліномів, раціональних функцій, тригонометричних поліномів, вейвлетів тощо. Будується оператор мішаної апроксимації функції трьох змінних за допомогою поліномів Бернштейна; наводиться загальний вигляд похибки наближення побудованим оператором та оцінка цієї похибки. Також в роботі будується та досліджується чотиривимірна математична модель тривимірного тіла, що змінюється з часом. Наводиться обчислювальний експеримент з відновлення внутрішньої структури серця людини за томограмами, що лежать на системі взаємно перпендикулярних площин, які поступають з реально діючого комп’ютерного томографа. В статті представлені деякі можливості роботи з томограмами при відновленні внутрішньої структури тривимірного тіла за відомими проекціями цього тіла (томограмами).
Посилання
Radon J. Uber die Bestimmung von Functionen durch ihre Integralverte langs gewisser Manningfaltigkeiten. Berichte Sachsische Acad-emie der Wissenschaften. Leipzig, Mathem. – Phys., 1917, K1, 69, рр. 262–267.
Serhiienko I. V., Lytvyn O. M., Pershyna I. I. Matematychne modelyuvannya v komp"yuterniy tomografiyi z vykorystannyam inter-fletatsiyi funktsiy. Monografiya [Mathematical modeling in computed tomography by interflatation function. Monograph]. Kharkiv, KhNURE Publ., 2008. 160p.
Pershina Yu. I., Shilin O. V. Reshenie 3D-zadachi komp'yuternoy tomografii po izvestnym tomogrammam na sisteme proizvol'nykh ploskostey [Solution of a 3D computed tomography problem using known tomograms on a system of arbitrary planes]. Izvestiya Natszional'noy akademii nauk Belarusi. Seriya fiziko-tekhnicheskikh nauk [Bulletin of the National Academy of Science of Belarus. Se-ries Physical and Technical Sciences]. Minsk, 2017, no. 4, pp. 112–121.
Pershyna Yu. Y., Shylin O. V. Chysel'na realizatsiya metodu vidnovlennya vnutrishn'oyi struktury 3D tila za vidomymy yiyi tomo-gramamy na systemi dovil'nykh ploshhyn z vykorystanniam interfletatsii funktsiy [Numerical implementation of the method of restoring the internal structure of a 3D body according to its known tomograms on a system of arbitrary planes using interflation of functions]. Visnyk Natsionalʹnoho tekhnichnoho universytetu «KрPI». Seriya : Matematychne modelyuvannya v tekhnitsi ta tekhnologiyakh [Bulletin of the National Technical University “KhPI”. Series : Mathematical modeling in engineering and technology]. Kharkiv, NTU «KhPI» Publ., 2017, no. 6(1228), pp. 105–111.
Malozyemov V. N., Sergeev A. N., Grigor'ev M. I. Polinomy Bernshteyna i Sostavnye krivye Bez'e [Bernstein polynomials and Bézier composite curves]. Sankt-Peterburg, 2004. 11 p.
Malozyemov V. N., Masharskiy S. M. Elementarnye metody v ekstremal'nykh zadachakh [Elementary methods in extreme problems]. Sankt-Peterburg, Izd-vo VVM Publ., 2020. 160 p.
Jaffray D. A., Siewerdsen J. H., Wong J. W., Martinez A. A. Flat-panel cone-beam computed tomography for image-guided radiation therapy. Int. J. Radiat. Oncol. Biol. Phys. 2002, vol. 53, no. 5, pp. 1337–1349. doi: 10.1016/s0360-3016(02)02884-5.
Orth R. C., Wallace M. J., Kuo M. D. C-arm cone-beam CT : general principles and technical considerations for use in interventional radiology. J. Vasc Interv Radiol. 2008, vol. 19, no. 6, pp. 814–820. doi: 10.1016/j.jvir.2009.04.026.
Jia X., Lou Y., Dong B. 4D Computed Tomography Reconstruction from Few-Projection Data via Temporal Non-local Regularization. Medical Image Computing and Computer-Assisted Intervention : proceedings of the conference, Part I. 2010, pp. 143–150.
Korneychuk N. P. Splajny v teorii priblizheniya [Splines in approximation theory]. Moscow, Nauka Publ., 1984. 352 p.
Litvin O. M. Interlinatsiya funktsiy ta deyaki yiyi zastosuvannya [Interlination of functions and some of its applications]. Kharkiv, Os-nova Publ., 2002. 544 p.
