ПРУЖНИЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ІЗОТРОПНИЙ ПРОСТІР З ДВОМА ОДНОВІСНИМИ ПАРАЛЕЛЬНИМИ КРУГОВИМИ ТРІЩИНАМИ І СУПУТНІ ПРОБЛЕМИ БАЗИСНОСТІ

Анотація

В даній статті проведено дослідження задачі про напружений стан у трансверсально-ізотропному просторі з двома паралельними круговими тріщинами, центри яких розташовано на осі анізотропії простору. На площини тріщин діє стале нормальне навантаження. Задача розв’язувалася узагальненим методом Фур’є. Для цього введено системи стиснутих сфероїдальних координат, початки яких пов’язані з центрами тріщин. Загальний розв’язок задачі будувався у вигляді рядів за осесиметричними варіантами загальних векторних розв’язків системи рівнянь рівноваги трансверсально-ізотропного тіла в сфероїдальних координатах, які раніше було побудовано одним з авторів статті. Для реалізації методу виконано його подальший розвиток на стиснуті сфероїдальні системи координат з початками, зсунутими за віссю . Для цього отримано нові теореми додавання базисних векторних переміщень трансверсально-ізотропних тіл у вказаних вище системах координат. Після застосування узагальненого методу Фур’є задачу зведено до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Доведено, що при певних геометрично-механічних умовах оператор системи є фредгольмовим оператором. При чисельному розв’язанні системи використано метод редукції. Отримано графіки нормальних напружень в площині однієї з тріщин поза її межами, а також значення коефіцієнтів інтенсивності напружень у вершині тріщини при різних геометричних параметрах тріщин. Отримані результати узгоджуються з відомим значенням коефіцієнта інтенсивності напружень в задачі з однією тріщиною. Наведено дослідження практичної збіжності метода редукції.

Як важливу супутню проблему розглянуто задачу доведення базисності загального осесиметричного набору зовнішніх розв’язків системи рівнянь рівноваги трансверсально-ізотропного тіла, межа якого описується стиснутими сфероїдальними координатами. Ключовою проблемою тут є отримання тонких оцінок знизу модуля визначника першої крайової задачі. Наслідком отриманого результату є декілька важливих оцінок з теорії спеціальних функцій, в яких фігурують функції Лежандра другого роду від чисто уявного аргументу.