ВІДНОВЛЕННЯ РОЗРИВНОЇ ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ РІЗНИМИ ІНФОРМАЦІЙНИМИ ОПЕРАТОРАМИ З ВИКОРИСТАННЯМ ТРИКУТНИХ ЕЛЕМЕНТІВ
DOI:
https://doi.org/10.20998/2222-0631.2021.02.10Ключові слова:
розривна функція, інтерлінація, інтерполяція, апроксимація, трикутні елементиАнотація
Досліджуються методи побудови математичних моделей розривних функцій двох змінних з використанням різної інформації про них: односторонні значення в точках та односторонні сліди вздовж заданої системи ліній. Розглядається випадок, коли область визначення шуканої функції тріангульована прямокутними трикутниками. Якщо застосовувати інтерполяційні або апроксимаційні методи наближення, то для їх побудови повинні бути задані значення функції в заданих точках; якщо ж застосовувати інтерлінаційні методи – сліди шуканої функції вздовж заданої системи ліній. В роботі будуються розривний інтерполяційний та апроксимаційний сплайни для наближення розривної функції двох змінних із заданими односторонніми значеннями в заданій системі точок (в нашому випадку, в вершинах прямокутних трикутників), доводяться теореми про оцінку похибки наближення побудованими розривними конструкціями. Також в роботі будується розривний інтерлінаційний сплайн, в якому використовується зовсім інша інформація про розривну функцію – односторонні сліди вдовж заданої системи ліній (в нашому випадку, вздовж сторін прямокутних трикутників). Інтерлінація функцій може знайти широке застосування в автоматизації проектування корпусів літаків, автомобілів; під час отримання і обробки результатів гідролокації та радіолокації, при вирішенні задач компʼютерної томографії, в цифровій обробці сигналів і в багатьох інших областях. В статті також доводяться теореми про інтегральний вигляд залишку та про оцінку похибки наближення побудованим розривним оператором інтерлінації. Наводяться обчислювальні експерименти, які порівнюють результати наближення розривної функції двох змінних різними інформаційними операторами з використанням трикутних елементів. Надалі планується застосувати побудовані оператори розривної апроксимації та інтерлінації для вирішення двовимірної задачі компʼютерної томографії з суттєвим використанням неоднорідності внутрішньої структури тіла, яку необхідно відновити.
Посилання
Vershinin V. V., Zavyalov Yu. S., Pavlov N. N. Eksperimental'nye svoystva splaynov i zadacha sglazhivaniya [Experimental properties of splines and the problem of smoothing]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1988. 104 p.
Larry L. Schumaker. Spline Functions : Computational Methods. Vanderbilt University, Nashville, Tennessee, 2015. 409р.
Zavyalov Yu. S., Kvasov B. I., Miroshnichenko V. L. Metody splayn-funktsiy [Methods of spline functions]. Moscow, Nauka Publ., 1980. 352 p.
Serhiienko I. V., Zadiraka V. K., Lytvyn O. M., Pershyna I. I. Teoriya rozryvnykh splayniv ta yiyi zastosuvannya v komp''yuterniy to-mografiyi : monografiya [Theory of discontinuous splines and its application in computed tomography]. Kyiv, Naukova Dumka Publ., 2017. 314 p.
Popov B. A. Ravnomernoe priblizhenie splaynami [Uniform approximation by splines]. Kyiv, Naukova dumka Publ., 1989. 272 p.
De Vore R. A. A method of grid optimization for finite element methods. Computer method in appl. Mechanics and engineering. 1983, Vol. 41, pp. 29–45.
Litvin O. M. Interlinatsiya funktsiy ta deyaki yiyi zastosuvannya [Interlination of functions and some of its applications]. Kharkiv, Osnova Publ., 2002. 544 p.
Emmel L., Kaber S. M., Maday Y. Pade-Jacobi filtering for spectral approximations of discontinuous solutions. Numer. Algo. 2003, no. 33, pp. 251–264.
Chantrasmi T., Doostan A., Iaccarino G. Padé–Legendre approximants for uncertainty analysis with discontinuous response surfaces. J. Comp. Phys. 2009, no. 228, pp. 7159–7180.
Hesthaven J. S., Kaber S. M., Lurati L. Pade-Legendre Interpolants for Gibbs Reconstruction. J. Sci. Comp. 2006, 28, pp. 337–359.
Costarelli D. Sigmoidal Functions Approximation and Applications : Ph. D. Thesis. – Universitat degli Study Roma Tres, Roma, Italy. 2013.
Lombardini R., Acevedo R., Kuczala A., Keys K. P., Goodrich C. P. Higher-order wavelet reconstruction/differentiation filters and Gibbs phenomena. Journal of Computational Physics. 2016, no. 15, pp. 244–262.
Lytvyn O. M., Pershyna I. I., Pasichnyk V. O. Doslidzhennya metodu znakhodzhennya tochok rozryvu pershogo rodu funktsiyi odnieyi zminnoyi [Studying a method for identifying the points of discontinuity of the first kind of functions of one variable]. Visnyk Natsionalʹnoho tekhnichnoho universytetu «KHPI». Seriya : Matematychne modelyuvannya v tekhnitsi ta tekhnologiyakh. [Bulletin of the National Technical University “KhPI”. Series : Mathematical modeling in engineering and technologies]. Kharkiv : NTU «KhPI» Publ., 2015, no. 6(1115), pp. 67–76.
Pershyna I. I., Pasichnyk V. O. Nablyzhennya rozryvnykh funktsiy rozryvnymy splaynamy metodom minimaksa [Approximation of discontinuous functions by discontinuous splines by the minimax method]. Visnyk KhNTU [Bulletin of KhNTU]. Kherson, 2018, no. 3(66), vol. 2, pp. 82–87.
Litvin O. N., Pershina I. I., Sergienko I. V. Vosstanovlenie razryvnykh funktsiy dvukh peremennykh, kogda linii razryva neizvestny (pryamougol'nye elementy) [Reconstruction of discontinuous functions of two variables when the discontinuity lines are unknown (rectangular elements)]. Kibernetika i sistemnyy analiz [Cybernetics and System Analysis]. 2014, no. 4, pp. 126–134.
Lytvyn O. M., Pershyna I. I. Nablyzhennya rozryvnykh funktsiy dvokh zminnykh rozryvnymy splayn-interlinantamy z vy-korystannyam trapetsevydnykh elementiv [Approximation of discontinuous functions of two variables by discontinuous spline interlinant using trapezoidal elements]. Tavrichnyy visnyk informatyky ta matematyky [Taurian Bulletin of Informatics and Mathemat-ics]. Symferopol, 2011, no. 2, pp. 59–70.
Lytvyn O. M., Pershyna I. I. Matematychne modelyuvannya v kompyuterniy tomografiyi z vykorystannyam mishanoyi aproksymatsiyi [Mathematical modeling in computed tomography using blending approximation]. Materialy drugoyi mizhnarodnoyi konferentsiyi «Teoriya ta metody obrobky sygnaliv» [Theses of TheSecond International Conference “Theory and Methods of Signal Processing]. Kyiv, Natsional'nyy aviatsiynyy universytet Publ., 2008. pp.85–86.
Lytvyn O. M., Pershyna I. I. Matematychna model' vidnovlennya tryvymirnykh ob"ektiv za yikh tomogramamy na systemi tryiokh grup pererizanykh ploshhyn z vykorystannyam interfletatsiyi funktsiyi [Mathematical model of reconstruction of three-dimensional objects by their tomograms on the system of three groups of intersected planes using interflatation function]. Dopovidi NANU [Re-ports of NANU]. 2005, no. 8, pp. 67–71.
Lytvyn O. M., Pershyna I. I. Matematychna model' vidnovlennya vnutrishnyioyi struktury tryvymirnogo ob"ekta za vidomymy yogo tomogramamy z vykorystannyam interfletatsiyi funktsiyi [Mathematical model of restoration of internal structure of three-dimensional object on its known tomograms with use of interflatation of functions]. Dopovidi NANU [Reports of NANU]. 2005, no. 1, pp. 20–24.
Subbotin Yu. N. Zavisimost' otsenok mnogomernoy kusochno polinomial'noy approksimatsii ot geometricheskikh kharakteristik triangulyatsii [Dependence of estimates of multidimensional piecewise polynomial approximation on geometric characteristics of tri-angulation]. Trudy Matematicheskogo instituta AN SSSR [Proceedings of the Mathematical Institute of the Academy of Science of USSR]. 1989, vol. 189, pp.117–137.
Litvin O. M., Pershina I. I. Priblizhenie razryvnykh funktsiy dvukh peremennykh s razryvami pervogo roda na liniyakh triangulyatsii dvumernoy oblasti [Approximation of discontinuous functions of two variables with discontinuities of the first kind on the triangulation lines of a two-dimensional domain]. Upravlyayuschie sistemyi i mashiny [Control Systems and Machines]. Kyiv, 2011, no. 5, pp. 34–47.
