ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ НОРМАЛЬНИХ ФОРМ КОЛИВАНЬ В ДЕЯКИХ СУТТЄВО НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМАХ
DOI:
https://doi.org/10.20998/2222-0631.2021.02.05Ключові слова:
нормальні форми коливань, рівняння у варіаціях, алгебраїзація за Айнсом, стійкість за ЛяпуновимАнотація
Стійкість нормальних форм коливань аналізується за допомогою двох підходів. Перший з них – це так званий метод алгебраїзації за Айнсом, коли обирається нова незалежна змінна, пов’язана з розв’язком, що розглядається. Тоді рівняння в варіаціях перетворюється в рівняння з особливими точками. Проблема отримання розв’язків, що відповідають границям між областями стійкості / нестійкості, в цьому випадку зводиться до проблеми отримання розв’язків, що мають сингулярності в цих особливих точках. Такі розв’язки можна отримати у вигляді степеневих рядів, коефіцієнти яких задовольняють системі однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь. Умова існування нетривіальних розв’язків подібних систем дає границі між областями стійкості/ нестійкості в просторі параметрів вихідної системи. Перевага методу алгебраїзації є в тому, що нема потреби використовувати представлення у часі розв’язку, що досліджується на стійкість. Інший підхід до проблеми стійкості форм коливань пов’язаний з класичним визначенням стійкості за Ляпуновим. Запропонований аналітико-числовий тест може бути використаний в задачі стійкості форм коливань тоді, коли ця проблема не має аналітичного розв’язку. Він також дозволяє отримати границі між областями стійкості / нестійкості у просторі параметрів системи. В роботі перший підхід використано для аналізу стійкості нормальних форм коливань в системі пов’язаних осциляторів на суттєво нелінійній пружній опорі, а другий - для аналізу стійкості горизонтальної форми коливань в так званому стохастичному абсорбері.
Посилання
Kauderer H. Nichtlineare Mechanik. – Berlin : Springer-Verlag, 1958. 696 p.
Rosenberg R. M. Nonlinear vibrations of systems with many degrees of freedom. Adv. Appl. Mech. 1966, vol. 9, pp. 156–243. DOI: 10.1016/S0065-2156(08)70008-5.
Vakakis A. F., Manevitch L. I., Mikhlin Yu. V., Pilipchuk V. N., Zevin A. A. Normal Modes and Localization in Nonlinear Systems. New York, Wiley, 1996. 552 p.
Mikhlin Yu. V., Avramov K. V. Nonlinear normal modes for vibrating mechanical systems. Review of theoretical developments. Appl. Mech. Rev. 2010, vol. 63 (6), 060802. DOI: 10.1115/1.4003825.
Avramov K. V., Mikhlin Yu. V. Review of applications of nonlinear normal modes for vibrating mechanical systems. Appl. Mech. Rev. 2013, vol. 65 (2), 020801. DOI: 10.1115/1.4023533.
Lyapunov A. M. Stability of Motion. New York, Academic Press, 1966. 261 p.
Cesari L. Asymptotic Behavior and Stability Problems in Ordinary Differential Equations. New York, Springer-Verlag, 1971. 274 p. DOI: 10.1007/978-3-642-85671-6.
LaSalle J. P. The Stability of Dynamical Systems. Philadelphia, SIAM, 1976. 73 p. DOI: 10.1137/1.9781611970432.
Ince E. L. Ordinary Differential Equations. London, Longmans Green, London, 1926. 558 p.
Mikhlin Yu. V., Zhupiev A. L. An application of the Ince algebraization to the stability of non-linear normal vibration modes. Int. J. of Non-Linear Mechanics. 1997, vol. 32 (2), pp. 393–409. DOI: 10.1016/S0020-7462(96)00047-9.
Mikhlin Yu. V., Shmatko T. V., Manucharyan G. V. Lyapunov definition and stability of regular or chaotic vibration modes in systems with several equilibrium positions. Comp. Structures. 2004, vol. 82, pp. 2733–2742. DOI: 10.1016/j.compstruc.2004.03.082.
Koroleva (Kikot) I. P., Manevitch L. I. Weakly coupled oscillators in the presence of elactic support in the conditions of acoustic vacuum. Nelineinaya Dinamika [Russian Journal of Nonlinear Dynamics]. 2014, vol. 10 (3), pp. 245–263. DOI: 10.20537/ND1403001.
Koroleva (Kikot) I., Manevitch L., Vakakis A. F. Non-stationary resonance dynamics of a nonlinear sonic vacuum with grounding supports. Journal of Sound and Vibration. 2015, vol. 357, pp. 349–364. DOI: 10.1016/j.jsv.2015.07.026.
Pilipchuk V. Stochastic energy absorbers based on analogies with soft-wall billiards. Nonlinear Dynamics. 2019, vol. 98, pp. 2671–2685. DOI: 10.1007/s11071-019-05109-z.
