КОЛИВАННЯ, ОПИСАНІ АНАЛОГАМИ РІВНЯНЬ ВАН ДЕР ПОЛЯ І РЕЛЕЯ

Автор(и)

  • Василь Павлович Ольшанський Харківський національний технічний університет сільського господарства імені П. Василенка
  • Станіслав Васильович Ольшанський Харківський національний технічний університет сільського господарства імені П. Василенка

DOI:

https://doi.org/10.20998/2222-0631.2020.01.07

Ключові слова:

квазілінійні автоколивання, граничний цикл, аналоги рівнянь Ван дер Поля і Релея, метод енергетичного балансу, вільні коливання, чисельні розвʼязки задачі Коші

Анотація

Розглянуто режими усталених квазілінійних автоколивань, які описані аналогами диференціальних рівнянь Ван дер Поля і Релея. Для дослідження руху задіяно метод енергетичного балансу в диференціальній формі. Отримано умови, у вигляді нерівностей, стосовно констант диференціальних рівнянь, при виконанні яких рівняння будуть описувати квазілінійні автоколивання з амплітудою, що не залежить від початкових умов. Виведено формули для обчислення цієї амплітуди з використанням таблиці гама-функції. Доведено стійкість руху в усталеному режимі автоколивань та нестійкість нульового положення статичної рівноваги системи. Встановлено також нерівності, при виконанні яких розглянуті типи рівнянь будуть описувати вільні затухаючі коливання відносно нульового положення рівноваги або їх розгойдування з подальшою втратою стійкості системи. Ці варіанти руху залежать від початкових умов. При «малих» початкових відхиленнях, менших порогового значення, коливання осцилятора затухають, а при «великих» відбуваються їх розгойдування. Динамічна система стійка в «малому» та є нестійкою в «великому». Розглянуто також вплив сталої складової у виразі сили опору на процес коливань. Показано, що вона призводить до зміщення положення відносно якого проходять усталені автоколивання, але не впливає на їх амплітуду і частоту, що є наслідком лінійної пружності системи. Виділено випадки, коли виведені розрахункові формули переходять у відомі результати. Аналітичні дослідження супроводжуються чисельним компʼютерним розвʼязанням задачі Коші та порівнянням результатів, одержаних двома способами, що підтверджує адекватність виведених розрахункових формул.

Посилання

Larin A. A. Ocherki istorii razvitiya teorii mekhanicheskikh kolebaniy [Essays on the history of the development of the theory of me-chanical vibrations]. Sevastopol, Veber Publ., 2013. 403 p.

Babakov I. M. Teoriya kolebaniy [Theory of fluctuations]. Moscow, Drofa Publ., 2004. 591 p.

Bogolyubov N. N., Mitropol'skiy Yu. A. Asimptoticheskie metody v teorii nelineynykh kolebaniy [Asymptotic methods in the theory of nonlinear oscillations]. Moscow, Nauka Publ., 1974. 504 p.

Zaytsev V. F., Polyanin A. D. Spravochnik po obyknovennym differentsial'nym uravneniyam [Handbook of ordinary differential equa-tions]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2001. 576 p.

Vasylenko M. V., Alekseychuk O. M. Teoriya kolyvan' i stiykosti rukhu [Theory of oscillations and stability of motion]. Kyiv, Vyshha shkola Publ., 2004. 525 p.

Ol'shans'kyy V. P., Ol'shans'kyy S. V., Tishhenko L. M. Dynamika dysypatyvnykh ostsylyatoriv [Dynamics of Dissipative Oscillators]. Kharkiv, Mis'kdruk Publ., 2016. 264 p.

Abramovits М., Stigan I. Spravochnik po spetsial'nym funktsiyam (s formulami, grafikami i matematicheskimi tablitsami) [Handbook of special functions (with formulas, graphs and mathematical tables)]. Moscow, Nauka Publ., 1979. 832 p.

Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A., Marichev O. I. Integraly i ryady. Elementarnye funktsii [Integrals and series. Elementary func-tions]. Moskow, Nauka Publ., 1981. 800 p.

##submission.downloads##

Опубліковано

2021-03-05