ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ТЕРМОПРУЖНИМ СТАНОМ КУЛІ ЗІ СФЕРИЧНИМ ВКЛЮЧЕННЯМ ЗА ДОПОМОГОЮ ПОТУЖНОСТІ РОЗПОДІЛЕНИХ ВНУТРІШНІХ ТЕПЛОВИХ ДЖЕРЕЛ

Анотація

У різних галузях техніки та технології виникають задачі створення різноманітних типів технічних систем із внутрішніми джерелами тепла. Їх конструювання ґрунтується на моделюванні та оптимізації отриманих моделей, що не завжди можна виконати з гарантованою точністю та повнотою відомими чисельними методами. Тому подальший розвиток нового ефективного чисельно-аналітичного методу розв’язання подібних задач для складових тіл зі складною геометрією та довільними термомеханічними характеристиками складових компонентів, запропонованого авторами в одній із попередніх статей, є актуальною задачею. У цьому і полягає суть даної роботи. На прикладі пружного тіла з певною геометрією (куля з ексцентричним сферичним включенням) розв’язується задача оптимального керування його стаціонарним термопружним станом за допомогою потужності розподілених джерел тепла у включенні. Цільовим функціоналом у задачі було обрано функціонал, який виражає середньоквадратичне значення напруження на поверхні включення. Додаткове обмеження накладається на середній квадрат потужності теплових джерел. Така постановка задачі розглядається вперше. Розв’язання задачі розбите на два етапи. На першому –розв’язується пряма задача моделювання термопружного стану кулі з включенням при заданих на межі кулі температурі та зовнішньому навантаженні, а у включенні – потужності розподілених теплових джерел. При цьому використовується узагальнений метод Фур’є, модифікований апарат якого для зазначеної геометрії тіла розроблено авторами в роботі. В результаті реалізації першого етапу вихідна задача замінена на еквівалентну задачу оптимального керування станом об’єкта, який задається двома нескінченними лінійними алгебраїчними системами. При цьому оптимізаційна задача ставиться відносно квадратичного функціонала, визначеного на декартовому добутку гільбертових просторів числових послідовностей, сумовних з квадратом. Аргументами функціонала є розв’язки вказаних систем. Принциповою складністю
розв’язання еквівалентної (зворотної) задачі є неможливість аналітичного вираження розв’язків систем через параметри оптимізації. У роботі отримав подальший розвиток запропонований авторами метод параметричного розв’зання нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Внаслідок його застосування квадратичний функціонал виражається через параметри оптимізації. Задача на умовний екстремум функціонала вирішується методом Лагранжа. Його застосування призводить до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь з квадратичним обмеженням, яка розв’язується спектральним методом. Усі проміжні етапи реалізації запропонованого методу строго обґрунтовані п’ятьма доведеними у роботі теоремами. Чисельна реалізація методу проведена в межах розгорнутого комп’ютерного експерименту, результатиякого наведено у роботі. У роботі показано рисунки оптимальних температурних полів у кулі та потужностей розподілених джерел тепла у
включенні, а також графіки оптимальних температур та нормальних напружень на поверхні включення залежно від геометричних параметрів та трьох різних типів зовнішнього навантаження. Усі основні результати роботи є новими. Аналітичне обґрунтування та проведені розрахунки доводять коректність та ефективність запропонованого методу.