СТАБІЛІЗАЦІЯ ЛІНІЙНИХ МАТРИЧНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ПОСТІЙНИМИ СИМЕТРИЧНИМИ МАТРИЦЯМИ

Анотація

У статті висвітлено методику розв’язування задачі стабілізації лінійного матричного диференціального рівняння з постійними симетричними матрицями, а також для важливого випадку таких рівнянь, як матричне рівняння Ляпунова. Матричні диференціальні рівняння виникають у задачах теорії стійкості, практичної стійкості, теорії оптимального керування і оцінювання стану систем за умов невизначеності. Одним з класичних видів матричних диференціальних рівнянь є лінійні матричні диференціальні рівняння, зокрема матричні рівняння Ляпунова. Постають задачі знаходження аналітичних розв’язків таких рівнянь, проблеми аналізу якісних властивостей
розв’язків матричних диференціальних рівнянь. Для випадків, при яких незбурений розв’язок рівняння є нестійким, виникають задачі стабілізації завдяки вибору матриці керування з оберненим зв’язком. В статті пропонується методика конструювання керувань, які розв’язують задачу стабілізації матричного диференціального рівняння Ляпунова та лінійного матричного диференціального рівняння з симетричними матрицями. Метод, розроблений в статті, базується на алгебраїчних властивостях власних чисел симетричних матриць. Побудова керування здійснюється у такий спосіб, щоб забезпечити виконання умов асимптотичної стійкості для матричного рівняння. При цьому розглядається випадок, коли матриці рівняння володіють наперед заданими спектральними властивостями, які дозволяють забезпечити умови асимптотичної стійкості нульового розв’язку замкненої системи. Крім того, аналізується постановка задачі з обмеженням на матриці підсилення, які визначають матричну функцію керування. Сформульовані теореми носять конструктивний характер.