Вісник Національного технічного університету «ХПІ». Серія: Математичне моделювання в техніці та технологіях

АНАЛІТИЧНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ОБЕРНЕНОЇ ЗАДАЧІ КІНЕМАТИКИ ШЕСТИСТУПЕНЕВИХ КУТОВИХ МАНІПУЛЯТОРІВ З УРАХУВАННЯМ НЕСПІВВІСНОСТЕЙ

2026-06-16T09:48:13+03:00

У цій статті представлено розвиток аналітичного алгоритму розв’язання оберненої задачі кінематики для кутових маніпуляторів із шістьма ступенями вільності типу PUMA-560, попередні версії якого були викладені авторами в попередніх публікаціях. Алгоритм базується на умові Піпера, згідно з якою осі обертання трьох останніх ланок перетинаються в одній точці. Це дозволяє розкласти задачу визначення узагальнених координат маніпулятора на дві підзадачі: задачу позиціонування, тобто розміщення центру зап’ястя в заданій точці, та задачу орієнтації, тобто вирівнювання кінцевого ефектора із заданою його просторовою орієнтацією. Вказані положення для кожного моменту часу повинні визначатися з умов використання маніпулятором виробничого завдання. Розбиття всієї задачі на транспортну і орієнтаційну зводить проблему визначення шести кутів відносних поворотів ланок до аналітичного визначення тільки 3-х невідомих в кожній підзадачі. Для моделей маніпуляторів, які повністю задовольняють умову Піпера, обидві підзадачі розв’язуються точно за формулами замкнутої форми, за пропонованими в статті. Для моделей, в яких умова Піпера виконується лише частково, а саме, коли осі п’ятої та шостої ланок перетинаються, але їхня точка перетину не збігається з віссю обертання четвертої ланки, задачі позиціонування та орієнтації розв’язуються за допомогою простої ітераційної процедури оцінки кута повороту четвертої ланки. Показано, що для розглянутих моделей цей процес сходиться за три ітерації. Сама задача орієнтації тут розв’язується за допомогою кватерніонних рівнянь і тому не містить проблем виродження, пов’язаних із
сингулярністю. Ефективність запропонованого алгоритму демонструється шляхом розв’язання задач оберненої кінематики для трьох моделей маніпуляторів: PUMA-560, ABB (IRB 460) та маніпулятора, розробленого Vertical. Основні відмінності між запропонованим алгоритмом та попередніми підходами авторів полягають у використанні більш прозорих геометричних міркувань, включенні випадків, що стосуються порушень умови Піпера, та застосуванні кватерніонів для розв’язання задачі орієнтації. Отримані формули та алгоритми були перевірені
шляхом порівняння результатів розв’язків прямої та зворотної кінематики для трьох моделей роботів.

СТАБІЛІЗАЦІЯ ЛІНІЙНИХ МАТРИЧНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ПОСТІЙНИМИ СИМЕТРИЧНИМИ МАТРИЦЯМИ

2026-06-16T10:09:14+03:00

У статті висвітлено методику розв’язування задачі стабілізації лінійного матричного диференціального рівняння з постійними симетричними матрицями, а також для важливого випадку таких рівнянь, як матричне рівняння Ляпунова. Матричні диференціальні рівняння виникають у задачах теорії стійкості, практичної стійкості, теорії оптимального керування і оцінювання стану систем за умов невизначеності. Одним з класичних видів матричних диференціальних рівнянь є лінійні матричні диференціальні рівняння, зокрема матричні рівняння Ляпунова. Постають задачі знаходження аналітичних розв’язків таких рівнянь, проблеми аналізу якісних властивостей
розв’язків матричних диференціальних рівнянь. Для випадків, при яких незбурений розв’язок рівняння є нестійким, виникають задачі стабілізації завдяки вибору матриці керування з оберненим зв’язком. В статті пропонується методика конструювання керувань, які розв’язують задачу стабілізації матричного диференціального рівняння Ляпунова та лінійного матричного диференціального рівняння з симетричними матрицями. Метод, розроблений в статті, базується на алгебраїчних властивостях власних чисел симетричних матриць. Побудова керування здійснюється у такий спосіб, щоб забезпечити виконання умов асимптотичної стійкості для матричного рівняння. При цьому розглядається випадок, коли матриці рівняння володіють наперед заданими спектральними властивостями, які дозволяють забезпечити умови асимптотичної стійкості нульового розв’язку замкненої системи. Крім того, аналізується постановка задачі з обмеженням на матриці підсилення, які визначають матричну функцію керування. Сформульовані теореми носять конструктивний характер.

ІНТЕГРАЛЬНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОМПЛАНАРНИХ СИСТЕМ ІМПЕДАНСНИХ СТРІЧОК В ПОЛІ Е-ПОЛЯРИЗОВАНИХ ХВИЛЬ

2026-06-16T11:46:15+03:00

У роботі на основі повної хвильової математичної моделі проаналізовано розсіювання плоскої Е-поляризованої хвилі на системах імпедансних стрічок. Значну увагу приділено інтегральним характеристикам розсіювання для некласичних компланарних систем імпедансних стрічок нульової товщини. Для знаходження основних характеристик розсіювання для планарних передфрактальних решіток та компланарних систем стрічок, що базуються на функціях «Сходи Диявола», використовується інтегральна формула Гельмгольца – Кірхгофа. Представлено два класи специфічних функцій Сходи Диявола, що відповідають самоподібним досконалим множинам зі змінною фрактальною розмірністю. Окрім повних хвильових математичних моделей, для дослідження цих характеристик розсіювання були використані асимптотичні моделі Лорда Релея. Прості асимптотичні формули дають можливість порівняти їх з результатами розрахунків за повною хвильовою моделлю і оцінити діапазон застосування асимптотик. Чисельна апроксимація системи СІУ для повної хвильової моделі для ґраток із двох та трьох стрічок виконана методом механічних квадратур з вибором точок інтегрування та точок колокації на інтервалах розбиття.

СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ РІЗНИЦЕВИХ СХЕМ У ЗАДАЧІ ЧИСЕЛЬНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ТОРСІЙНИХ АВТОКОЛИВАНЬ ПРУЖНОЇ КОЛОНИ У В’ЯЗКОМУ СЕРЕДОВИЩІ

2026-06-17T09:50:00+03:00

У статті досліджено стійкість явної та неявної скінченно-різницевих схем, побудованих для чисельного розв’язання задачі торсійних автоколивань пружної колони у в’язкому середовищі. Розглянута математична модель описує динаміку протяжної пружної системи з урахуванням інерційних, пружних і дисипативних ефектів та є типовою для прикладних задач механіки бурильних колон і інших інженерних конструкцій. Основну увагу зосереджено на аналізі стійкості різницевих алгоритмів за методом фон Неймана, який дозволяє дослідити спектральні властивості похибки чисельного розв’язку без виконання повномасштабних обчислювальних експериментів. Для явної різницевої схеми отримано характеристичне рівняння та показано, що вона є умовно стійкою. Встановлено існування критичного значення кроку інтегрування за часом, перевищення якого призводить до втрати стійкості чисельного процесу. У найгіршому спектральному режимі критичний крок визначається з умови досягнення граничного значення модуля спектрального параметра та еквівалентно може бути знайдений з рівності нулю дискримінанта характеристичного рівняння. Отриманий аналітичний вираз для критичного кроку інтегрування узгоджується з чисельними оцінками. Для неявної різницевої схеми проведено аналітичне дослідження характеристичного рівняння та доведено, що для довільних значень кроків дискретизації за часом і простором модулі його коренів не перевищують одиниці. Це дозволяє зробити висновок про безумовну стійкість неявної схеми за методом фон Неймана. Побудовані графіки залежності спектрального параметра від кроку інтегрування наочно підтверджують аналітичні результати. Отримані висновки можуть бути використані для обґрунтованого вибору чисельної схеми при моделюванні динамічних процесів у пружних протяжних системах із дисипацією енергії.

АНАЛІЗ ПІДХОДІВ ДО МОДЕЛЮВАННЯ ВЗАЄМОДІЇ ПНЕВМАТИЧНИХ ШИН З ОПОРНОЮ ПОВЕРХНЕЮ

2026-06-17T10:14:42+03:00

У статті розглянуто питання визначення площин плям контакту пневматичних шин мобільних машин при взаємодії з опорною поверхнею в умовах змінного навантаження та внутрішнього тиску в шині. Актуальність дослідження зумовлена необхідністю адекватного врахування деформаційних властивостей шин і фізико-механічних характеристик ґрунту при моделюванні руху транспортних засобів, зокрема сільськогосподарської техніки та спеціалізованих мобільних платформ, що працюють у складних експлуатаційних умовах. Метою роботи є порівняння результатів розрахунку площі плями контакту шин при взаємодії з опорною поверхнею за різними математичними моделями, побудованими на основі емпіричних залежностей, з експериментальними даними. Методика дослідження базується на поєднанні математичного моделювання та експериментальних вимірювань параметрів контактної взаємодії шин із опорною поверхнею. У роботі проаналізовано низку моделей, що описують форму та площу контактної плями, зокрема моделі, засновані на припущенні еліптичної та супереліптичної геометрії контакту, а також емпіричні залежності. У результаті дослідження встановлено, що зі збільшенням навантаження на колесо відбувається закономірне зростання площі плями контакту, тоді як підвищення внутрішнього тиску в шині призводить до її зменшення через збільшення жорсткості шини та обмеження деформації. Виявлено відмінності у характері цих залежностей для передніх і задніх шин, що обумовлено конструктивними особливостями та розподілом навантаження по осях. Порівняльний аналіз показав, що найбільш адекватне відтворення експериментальних даних забезпечують окремі емпіричні моделі, середня похибка яких не перевищує 7,65 – 8,5% для передніх та 8,4 –14,3% для задніх шин, тоді як базові моделі демонструють суттєво більші відхилення. Показано, що моделі, які описують площу плями контакту шини у вигляді області, обмеженої супереліпсом, характеризуються значною похибкою порівняно з експериментальними даними при тиску в шині понад 150 кПа, проте можуть бути ефективними за умов зниженого внутрішнього тиску. Обґрунтовано доцільність використання емпіричних підходів для опису контактної взаємодії шин із подальшим уточненням їх параметрів. Отримані результати можуть бути використані для підвищення точності математичних моделей руху мобільних машин та оптимізації їх експлуатаційних характеристик.

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ПРОЦЕСУ ТЕПЛОПОСТАЧАННЯ МНОЖИНИ ПОВ’ЯЗАНИХ АБОНЕНТІВ

2026-06-19T10:24:22+03:00

На даний час проблема енергозбереження є однією з найактуальніших. Особливого значення проблема енергозбереження набуває стосовно сфери забезпечення комфортного існування як в домашніх умовах, так і в робочий час в офісних або інших виробничих приміщеннях. Побудова адекватної математичної моделі процесу теплопостачання є складною математичною задачею. Основною складністю є наявність великої кількості конструктивних та теплофізичних параметрів, які необхідно встановити для чисельної реалізації існуючих математичних моделей. Метою даної роботи є розробка простої математичної моделі процесу теплопостачання багатоабонентного споживача теплової енергії, що має теплову взаємодію між суміжними абонентами. Пропонується математична модель, заснована на квазістатичному підході до опису складних динамічних процесів, що дозволило мінімізувати розмірність моделі при врахуванні основних теплових процесів та конфігурації будівлі. Таке спрощення дозволило без особливих труднощів отримати основні співвідношення між геометричними характеристиками окремих абонентів, конструкційними матеріалами, параметрами опалювальних приладів, витратами і температурами теплоносія, а також врахувати вплив температури навколишнього середовища. Отримана математична модель є лінійною системою рівнянь зв’язку між температурами і тепловими потоками всіх абонентів. Матриця лінійного оператора системи складається з теплових провідностей між суміжними абонентами та між абонентами та навколишнім середовищем. Елементи матриці взаємодій легко знаходяться, виходячи з відомих співвідношень теплотехніки. Наведено аналітичні рішення, як задачі аналізу, так і задачі синтезу керуючих параметрів. Одним із результатів є оцінка перерозподілу теплового потоку кожного з абонентів, що надходить через відповідні опалювальні прилади на корисний тепловий потік та тепловий потік розсіювання між суміжними абонентами. Отримані співвідношення дозволяють оцінити перерозподіл оплати за споживану теплову енергію.

ВИЗНАЧЕННЯ МАКСИМАЛЬНОГО ПОТОКУ У ТРАНСПОРТНІЙ МЕРЕЖІ З НЕЧІТКО ЗАДАНИМИ ПРОПУСКНИМИ ЗДАТНОСТЯМИ КОМУНІКАЦІЙ

2026-06-19T10:43:45+03:00

Метою роботи є застосування апарату теорії нечітких множин та нечіткої логіки для розв’язання задачі визначення максимального потоку у транспортній мережі. Розглядається ситуація, коли частина транспортної мережі пошкоджена, а для відновлення логістики необхідно в найкоротший час оцінити максимальну пропускну здатність її неушкодженої частини. Транспортна мережа представлена у вигляді орієнтованого графа з нечітко заданими пропускними здатностями комунікацій у вигляді нечітких трикутних чисел. Потрібно визначити величину максимального потоку, який можна пропустити із джерела до стоку за одиницю часу. Використовується підхід Беллмана-Заде, згідно з яким нечітким розв’язком задачі є перетин нечіткої мети та нечіткої множини допустимих альтернатив. Для наближеного розв'язання задачі пропонується алгоритм, який зводиться до розв’язання послідовності чітких задач знаходження максимального потоку для різних значень пропускних здатностей дуг методом Форда-Фалкерсона. В результаті отримується значення максимального потоку, який може бути пропущений із джерела до стоку за одиницю часу, значення пропускних здатностей дуг для оптимального плану та ступінь впевненості в тому, що знайдений план є оптимальним. Такий підхід до визначення максимального потоку в транспортних мережах дозволяє оцінити стійкість і надійність логістичної мережі, виявити «вузькі місця», оптимізувати розподіл ресурсів і розробити ефективні стратегії відновлення логістики в після аварійних ситуаціях.

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НАНОРОЗМІРНИХ МОДУЛІВ

2026-06-19T10:59:01+03:00

Стаття присвячена аналізу актуальних антагоністичних питань щодо впровадження нових методів математичного моделювання, які можливо застосувати для відтворення різнорідних бінарних функцій декількох аргументів на базі мікро- та наноелектронних мультиплексорних модулів. Зростання спеціалізації сучасних великих інтегральних схем вступає в протиріччя з їхньою універсальністю, що підвищує собівартість проєктних робіт та зменшує обсяги виробництва типономінальних зразків. Мінімізувати розбіжності між спеціалізацією та універсальністю слід шляхом математичного моделювання мікро- та нанорозмірних модулів з програмованою логікою. Програмування виконується не для створення алгоритмів обробки дискретної інформації, як це реалізує мікропроцесор, а шляхом логічних налаштувань мультиплексорних мікро- та нанопристроїв. Результати поєднаного моделювання, які отримані в роботі, підтверджують еквівалентність їхнього функціонування, а також переваги коміркових кулонівських наномультиплексорів у надійності, технологічному масштабуванні, енергоефективності, шви-
дкодії та недоліки у виключно кріогенних наднизькотемпературних застосуваннях. Вочевидь, еволюція мікроелектроніки триватиме тільки в умовах широкого запровадження нанорозмірних модулів з новими функціональними принципами дії.

АНАЛІЗ ТОЧНОСТІ ОБЧИСЛЕННЯ ПОДВІЙНИХ ІНТЕГРАЛІВ ВІД ШВИДКООСЦИЛЮЮЧИХ ФУНКЦІЙ ЗА ДАНИМИ НА ЛІНІЯХ ЗАЛЕЖНО ВІД ВИДУ ІНФОРМАЦІЙНИХ ОПЕРАТОРІВ, ШВИДКОСТІ ЗРОСТАННЯ ФАЗИ ТА АМПЛІТУДИ

2026-06-19T11:52:56+03:00

Важливою задачею математичного моделювання наразі є чисельне інтегрування функцій багатьох змінних. Через складність самих функцій або області інтегрування виникає необхідність застосування ефективних чисельних методів. Основна проблема чисельного інтегрування функцій багатьох змінних полягає в зростанні обчислювальних витрат зі збільшенням розмірності області інтегрування. Це спонукає до пошуку ефективних методів, які дозволяють зберігати баланс між обчислювальною складністю та точністю результатів. Особливий інтерес становлять методи чисельного інтегрування, розроблені з використанням інформаційних операторів, які відновлюють проміжні значення величин за наявним набором відомих значень функції багатьох змінних у точках, на лініях, площинах тощо. На основі таких операторів будуються кубатурні формули для наближеного обчислення багатовимірних інтегралів, у тому числі і для інтегралів від швидкоосцилюючих функцій загального виду. Однак не було приділено достатньо уваги приділено вивченню впливу на точність обчислень таких характеристик фази та амплітуди як швидкість зростання. Метою даної статті є проведення аналізу точності обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій загального виду за даними, заданими на лініях, залежно від виду інформаційних операторів, а також від швидкості зростання фази та амплітуди.

ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ТЕРМОПРУЖНИМ СТАНОМ КУЛІ ЗІ СФЕРИЧНИМ ВКЛЮЧЕННЯМ ЗА ДОПОМОГОЮ ПОТУЖНОСТІ РОЗПОДІЛЕНИХ ВНУТРІШНІХ ТЕПЛОВИХ ДЖЕРЕЛ

2026-06-19T15:10:11+03:00

У різних галузях техніки та технології виникають задачі створення різноманітних типів технічних систем із внутрішніми джерелами тепла. Їх конструювання ґрунтується на моделюванні та оптимізації отриманих моделей, що не завжди можна виконати з гарантованою точністю та повнотою відомими чисельними методами. Тому подальший розвиток нового ефективного чисельно-аналітичного методу розв’язання подібних задач для складових тіл зі складною геометрією та довільними термомеханічними характеристиками складових компонентів, запропонованого авторами в одній із попередніх статей, є актуальною задачею. У цьому і полягає суть даної роботи. На прикладі пружного тіла з певною геометрією (куля з ексцентричним сферичним включенням) розв’язується задача оптимального керування його стаціонарним термопружним станом за допомогою потужності розподілених джерел тепла у включенні. Цільовим функціоналом у задачі було обрано функціонал, який виражає середньоквадратичне значення напруження на поверхні включення. Додаткове обмеження накладається на середній квадрат потужності теплових джерел. Така постановка задачі розглядається вперше. Розв’язання задачі розбите на два етапи. На першому –розв’язується пряма задача моделювання термопружного стану кулі з включенням при заданих на межі кулі температурі та зовнішньому навантаженні, а у включенні – потужності розподілених теплових джерел. При цьому використовується узагальнений метод Фур’є, модифікований апарат якого для зазначеної геометрії тіла розроблено авторами в роботі. В результаті реалізації першого етапу вихідна задача замінена на еквівалентну задачу оптимального керування станом об’єкта, який задається двома нескінченними лінійними алгебраїчними системами. При цьому оптимізаційна задача ставиться відносно квадратичного функціонала, визначеного на декартовому добутку гільбертових просторів числових послідовностей, сумовних з квадратом. Аргументами функціонала є розв’язки вказаних систем. Принциповою складністю
розв’язання еквівалентної (зворотної) задачі є неможливість аналітичного вираження розв’язків систем через параметри оптимізації. У роботі отримав подальший розвиток запропонований авторами метод параметричного розв’зання нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Внаслідок його застосування квадратичний функціонал виражається через параметри оптимізації. Задача на умовний екстремум функціонала вирішується методом Лагранжа. Його застосування призводить до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь з квадратичним обмеженням, яка розв’язується спектральним методом. Усі проміжні етапи реалізації запропонованого методу строго обґрунтовані п’ятьма доведеними у роботі теоремами. Чисельна реалізація методу проведена в межах розгорнутого комп’ютерного експерименту, результатиякого наведено у роботі. У роботі показано рисунки оптимальних температурних полів у кулі та потужностей розподілених джерел тепла у
включенні, а також графіки оптимальних температур та нормальних напружень на поверхні включення залежно від геометричних параметрів та трьох різних типів зовнішнього навантаження. Усі основні результати роботи є новими. Аналітичне обґрунтування та проведені розрахунки доводять коректність та ефективність запропонованого методу.

ОПТИМІЗАЦІЯ АЛГОРИТМУ ПОКРАЩЕННЯ ЯКОСТІ ОПТОАКУСТИЧНОЇ ВІЗУАЛІЗАЦІЇ

2026-06-19T15:33:38+03:00

Оптоакустична томографія – це неінвазивний метод візуалізації, заснований на гібридній технології, що поєднує переваги оптичного та ультразвукового підходів. Вона забезпечує високий оптичний контраст, субміліметровий рівень детектування, неінвазивність, екологічність та глибоке ультразвукове проникнення у досліджуваний об’єкт. Однак висока гетерогенність тканинного фону, що характеризується сильними просторовими варіаціями розсіювання та поглинання звукових та електромагнітних хвиль, суттєво ускладнюють отримання якісних оптоа-
кустичних зображень. Крім того, якісна реконструкція хромофорів тканин та інших біомаркерів додатково ускладнюється різними наближеними формулами інверсії. Нещодавно нами було запропоновано метод поліпшення якості оптоакустичних (ОА) зображень, що базується на теоремі Банаха про нерухому точку. У даній роботі ми розвиваємо запропонований метод, використовуючи підхід, подібний до методу Калмана. Для перевірки ефективності розробленого алгоритму було проведено низку числових експериментів оптоакустичної реконструкції
двовимірних числових фантомів різної геометрії – кругові диски різного діаметру, розташовані на різній глибині, та двовимірна модель судинного дерева. Відновлені та покращені за новою схемою оптоакустичні зображення порівнювалися з реконструкціями, отриманими на основі попередніх ітеративних схем. Збіжність методів та якість покращених вихідних зображень, які аналізувалися в термінах пікового відношення сигнал/шум (PSNR) та індексу структурної подібності (SSIM), показали більшу ефективність нового методу.

ДОСЛІДЖЕННЯ АГРЕГУВАННЯ ПРОГНОЗІВ АНСАМБЛЮ НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ ДЛЯ ОБЧИСЛЕННЯ КОЕФІЦІЄНТА ГІДРАВЛІЧНОГО ОПОРУ

2026-06-19T15:57:05+03:00

Стаття присвячена розробці модифікації методу максимального голосування з метою підтримки задачі моделювання ансамблю нейронних мереж для прогнозування коефіцієнта гідравлічного опору у відкритих руслах річок, відомого як коефіцієнта шорсткості Шезі. Актуальність дослідження зумовлена необхідністю розробки обчислювальних алгоритмів для отримання точних і надійних прогнозів коефіцієнта шорсткості Шезі за допомогою штучних нейронних мереж в умовах обмежених та неповних даних для підтримки математичного моделювання
річкових течій для багатьох інженерних та екологічних завдань. Відомо, що застосування ансамблевих методів навчання нейронних мереж забезпечує значне підвищення точності та надійності прогнозів. Запропоновано модель однорідного ансамблю повнозв’язних штучних нейронних мереж прямого поширення із сигмоїдною функцією активації в рамках задачі обчислення коефіцієнта шорсткості Шезі на основі обмежених польових даних про гідроморфологічні характеристики відкритих русел річок. Побудова і навчання ансамблю нейронних мереж
здійснюється на основі методу Bagging. В рамках такого підходу представлено модифікацію методу максимального голосування на основі вирішення зворотної задачі для реалізації агрегування прогнозів нейронних мереж. Реалізацію алгоритмів побудови моделей ансамблю, ансамблевого навчання, агрегування прогнозів нейронних мереж здійснено за допомогою методів Python. Представлено результати апробації запропонованого ансамблю нейронних мереж із застосуванням модифікованого методу голосування, які показують високу ефективність пі-
дходу. Встановлено, що в рамках тестової задачі відносні похибки прогнозів знаходяться в межах від 0,5 % до 3,9 %, коефіцієнт ефективно- сті моделі Неша-Саткліффа становить 0,975.