СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ РІЗНИЦЕВИХ СХЕМ У ЗАДАЧІ ЧИСЕЛЬНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ТОРСІЙНИХ АВТОКОЛИВАНЬ ПРУЖНОЇ КОЛОНИ У В’ЯЗКОМУ СЕРЕДОВИЩІ
DOI:
https://doi.org/10.20998/2222-0631.2026.01(10).04Ключові слова:
чисельне моделювання, спектральний аналіз, стійкість різницевих схем, торсійні автоколивання, пружна колона, в’язке середовище, явна різницева схема, неявна різницева схема, метод фон Неймана, критичний крок інтегруванняАнотація
У статті досліджено стійкість явної та неявної скінченно-різницевих схем, побудованих для чисельного розв’язання задачі торсійних автоколивань пружної колони у в’язкому середовищі. Розглянута математична модель описує динаміку протяжної пружної системи з урахуванням інерційних, пружних і дисипативних ефектів та є типовою для прикладних задач механіки бурильних колон і інших інженерних конструкцій. Основну увагу зосереджено на аналізі стійкості різницевих алгоритмів за методом фон Неймана, який дозволяє дослідити спектральні властивості похибки чисельного розв’язку без виконання повномасштабних обчислювальних експериментів. Для явної різницевої схеми отримано характеристичне рівняння та показано, що вона є умовно стійкою. Встановлено існування критичного значення кроку інтегрування за часом, перевищення якого призводить до втрати стійкості чисельного процесу. У найгіршому спектральному режимі критичний крок визначається з умови досягнення граничного значення модуля спектрального параметра та еквівалентно може бути знайдений з рівності нулю дискримінанта характеристичного рівняння. Отриманий аналітичний вираз для критичного кроку інтегрування узгоджується з чисельними оцінками. Для неявної різницевої схеми проведено аналітичне дослідження характеристичного рівняння та доведено, що для довільних значень кроків дискретизації за часом і простором модулі його коренів не перевищують одиниці. Це дозволяє зробити висновок про безумовну стійкість неявної схеми за методом фон Неймана. Побудовані графіки залежності спектрального параметра від кроку інтегрування наочно підтверджують аналітичні результати. Отримані висновки можуть бути використані для обґрунтованого вибору чисельної схеми при моделюванні динамічних процесів у пружних протяжних системах із дисипацією енергії.
Посилання
Gulyayev V., Glazunov S., Glushakova O., Vashchilina E. Modelling Emergency Situations in the Drilling of Deep Boreholes. Cambridge, Scholars Publishing, 2019. – 512 с.
Glazunov S. M. Kvazistatychni ta dynamichni fryktsiyni efekty pry burinni glybokykh sverdlovyn : dys. kand. tekhn.nauk 05.23.17 [Quasi-static and dynamic frictional effects in deep borehole drilling. Candidate eng. sci.diss. (Ph. D.)]. Kyiv, 2018. 210 p. Manuscript.
Aarsnes U. J. F., van de Wouw N. Axial and torsional self-excited vibrations of a distributed drill-string. Journal of Sound and Vibration. 2019, Vol. 458, pp. 1–20. DOI: 10.1016/j.jsv.2018.12.028.
Liu X., Meng G., Balachandran B. Drill-string stability and stress localization: Influence of complex delay effects and dry friction. International Journal of Non-Linear Mechanics. 2023, Vol. 151, pp. 104–118. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2023.104559.
Faghihi M. A., Mohammadi H., Yazdi E. A., Eghtesad M., Tashakori S. Distributed model for the drill-string system with multiple regenerative effects in the bit–rock interaction. Journal of Sound and Vibration. 2024, Vol. 550, pp. 117–134. DOI: 10.1016/j.jsv.2023.118120.
Vashchilina O. V., Lebedyeva I. V. Deyaki osoblyvosti rukhu elementiv buryl'nykh ustanovok [Some peculiarities of the drilling rigs elements movement]. Visnyk Kyivs'kogo natsional'nogo universytetu imeni Tarasa Shevchenka. Seriya: Fizyko-matematychni nauky [Bulletin of the Taras Shevchenko National University of Kyiv Physics and Mathematics]. 2020, no. 1–2, pp. 57–60. DOI: 10.17721/1812-5409.2020/1-2-9.
Thomas J. W. Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods. New York, Springer Science & Business Media, 2013. 437 p.
LeVeque R. J. Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Philadelphia, SIAM, 2007. 339 p.
Gulyayev V. I., Vashchilina O. V., Glazunov S. M. Incipient regimes of drill bit whirlings on uneven bottoms of deep bore-holes. Visnyk Natsional'nogo tekhnichnogo universytetu «KhPI». Seriya: Dynamika ta mitsnist' mashyn [Bulletin of the National Technical University «KhPI» Series: Dynamics and Strength of Machines]. 2016, no. 46, pp. 81–84. DOI: 10.20998/2078-9130.2016.46.88055.
Shekhovtsov A. V. Vplyv tverdykh granyts ta v"yazkosti seredovyshha na vnesok inertsiynoyi ta vykhrovoyi komponent normal'noyi syly plastyny, shho obertaet'sya. Chastyna 1 [Impact of solid boundaries and viscosity of the medium on the contribution of the inertial and vortex components of the normal force of a rotating plate. Part 1]. Visnyk NTU «KhPI». Seriya : Matematychne modelyuvannya v tekhnitsi ta tekhnologiyakh. [Bulletin of the NTU "KhPI". Series: Mathematical modeling in engineering and technology]. Kharkiv, NTU «KhPI» Publ., 2023, no. 1, pp.
–217. DOI: 10.20998/2222-0631.2023.01.31.
Vashchilina O. V., Zhykharyeva Yu. I., Sholokhov O. V. Chysel'ni metody : navch. pos. [Numerical Methods : textbook]. Kyiv, Taras Shevchenko National University of Kyiv Publ., 2025. 325 p. Available at: https://ais.knu.ua/інформаційна-довідка-викладача (accessed 5 October 2025).
